Poincaré no se andaba con chiquitas

noviembre 15, 2007

Esto se conoce como el teorema de recurrencia de Poincaré, y es un resultado HERMOSO:

Sea f: D \to D una función que envía el disco en sí mismo, tal que |f(C)| = |C| , y estoy hablando de la medida de Lebesgue (pídanle medible, continua, lo que quieran… según wikipedia, vale con sólo pedir que preserve la medida de cualquier conjunto)…

1. Probar que para todo medible (“lo probamos para abiertos…”) U \subset D, hay un punto x \in U y un n \in \mathbb N tal que f^n(x) \in U, es decir, que para todo entorno hay un punto en su interior que a la larga vuelve a caer en ese entorno.

2. Probar que x puede ser casi cualquier punto del entorno, es decir, que la medida de los puntos de U que nunca vuelven a U es 0.

En particular, si vierten agua de una botella en un vaso, y las encierran en una caja, eventualmente el agua volverá a la botella…

6 comentarios to “Poincaré no se andaba con chiquitas”

  1. julianhaddad said

    no entendí lo de la botella

  2. Marlowe:PI said

    La función que determina la posición de las partículas de agua de la botella es una función que “conserva volúmen” (digamos), y se puede ver que entonces pasado un período lo suficientemente largo, hay un momento en el que casi todas las partículas de agua vuelven a caer dentro de la botella.

  3. Enzo said

    Al que le interese busque una demostración muy copada en el libro Mathematical Methods of Classical Mechanics de V. Arnold (un excelente libro para estudiar mecánica clásica dicho sea de paso)

  4. Marlowe:PI said

    Enzo, de ahí saqué el enunciado, y que era copadamente demostrable.

  5. Marlowe:PI said

    Terry Tao da una demostración de este teorema en su blog, en http://terrytao.wordpress.com/2008/01/30/254a-lecture-8-the-mean-ergodic-theorem/

  6. julianhaddad said

    che me salió. muy lindo… pero sigo sin entender lo de la botella

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