El otro lado del hongo

marzo 5, 2010

`One side will make you grow taller,
and the other side will make you grow shorter.’
Alice in Wonderland.

Sea G un grupo finito de cardinal n, y sea \sigma \in Aut(G). Demostrar que el exponente de \sigma es menor (estricto) a n.

Espacios simétricos

marzo 5, 2010

Sea A un espacio métrico. Decimos que otro espacio métrico M es inmersible en A si existe una isometría M\to A. A se dice simétrico si para todo espacio métrico M inmersible en A, cada isometría de un subespacio finito de M en A se puede extender a una isometría M\to A.

Probar que si A es un espacio vectorial real de dimensión finita con una distancia invariante por traslaciones, entonces es un espacio métrico simétrico si y sólo si es un espacio euclídeo.

O probar que esto no es cierto.

Jabberwocky

marzo 5, 2010

Hallar todas las  f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}  tales que f\circ f =f'

J’ai le droit d’exiger l’obéissance
parce que mes ordres sont raisonn
ables.
Le Petit Prince, Chapitre X

El rey invita un día n parejas a un banquete para la noche siguiente alrededor de una mesa redonda de 2n+1 lugares . Para cada pareja el rey decidirá en la noche del banquete una cierta distancia d entre 1 y n a la que que los integrantes de esa pareja deberán sentarse (o sea, de modo que haya d-1 personas entre ellos) Probar que para todas las posibilidades que decida el rey hay siempre una distribución posible sí y sólo si 2n+1 es primo.

Sugerido por godelian, comunicación personal.

Rectángulos

noviembre 22, 2009

Supongamos que hay n puntos en un cuadrado, uno de los cuales es el vértice inferior izquierdo. ¿Siempre se pueden elegir n rectángulos disjuntos, cada uno de ellos con el vértice inferior izquierdo en uno de los puntos, de manera que cubran más de la mitad del área del cuadrado?

El problema de Burnside

agosto 10, 2009

Decidir si existe un grupo infinito, finitamente generado y tal que todo elemento sea de orden finito.

La venganza será terrible

agosto 30, 2008

Sea S una colección de n intervalos cerrados en la recta real. Llamamos altura enS a una función biyectiva a:S\longrightarrow\{1,2,\dots ,n\}. Dada una altura en S, decimos que s\in S puede ver a s'\in S si a(s)<a(s') y existe un punto p\in s\cap s' tal que p \notin t para todo t\in S con a(s)<a(t)<a(s'). Probar que existe una altura en S para la cual cada intervalo en S puede ver a lo sumo a otros tres.

c.f: Competencia Matemática Ernesto Paenza – 23va realización – 28 de agosto de 2008

Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.

Dado un conjunto P de n puntos del plano, sea f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} una función tal que para cualquier isometría T del plano vale

\displaystyle \sum_{x \in T(P)} f(x) = 0.

Entonces f es constantemente nula.

Para n=1 es trivial, para n=2 casi, para n=3 sale, para n=4 creo que sale con bastantes vueltas, y después no sé, pero no quiero estar por el caso n=23 para cuando me muera.

Sea f: I \longrightarrow I^2, donde I = [0,1], una función continua y sobreyectiva (se le dice una función de Peano). Demostrar que hay un punto x \in I^2 tal que \#f^{-1}(x) \geq 3.

Una mesa de cuatro patas está apoyada sobre un terreno descripto por el gráfico de una función f:\mathbb R^2 \to \mathbb R continua.

¿es cierto que se puede girar y trasladar (un poquito nomás!) la mesa para que apoyen las cuatro patas?

¿alcanza sólo con girarla respecto de su centro?

¿vale para mesas rectangulares?

 

No vale hacer trampa. Pero para el que quiera hacer trampa puede leer este paper de gente que ya pensó el problema.

http://arxiv.org/pdf/math/0511490v1

Mecanismos:

abril 1, 2011

Tenemos un mecanismo hecho de varillas puestas en el plano y atornilladas por los extremos de manera que forman un polígono cerrado. También queremos que haya una varilla que esté fija. En la figura hay varios ejemplos de mecanismos:

Las varillas pueden moverse libremente (siempre que el mecanismo lo permita) y las varillas pueden “atravesarse” entre sí. Pero no pueden variar su longitud.

El conjunto de configuraciones de un mecanismo tiene una estructura obvia de espacio topológico, y una (no tan obvia) de variedad diferenciable.

0) Probar que al mecanismo de la izquierda de la figura corresponde el espacio S^1.

0.5) Describir el espacio que corresponde al tercer mecanismo de la figura, desde la izquierda. (pista: no es S^1)

1) Probar que el espacio que corresponde al pentágono de lados (1,1,1,1,1) es un toro de dimensión 2 con 4 manijas.

2) Probar que si permutamos el orden de las varillas de un mecanismo obtenemos un espacio homeomorfo al original.

Sea D un abierto conexo acotado de \mathbb R^n.

Decimos que una bola B es tangente a D por el punto p si p \in \overline B \cap \overline D y B \cap D = \emptyset

Supongamos que para todo punto p \in \partial D hay una bola B de radio R tangente a D por el punto p, y supongamos que D \subseteq B(0,R).

Probar que D es contráctil.

Es necesariamente D estrellado?

 

Slide

octubre 28, 2010

Si C_1, C_2 y C_3 son compactos convexos del plano disjuntos dos a dos, existe una permutación \phi de \{1,2,3\} tal que los conjuntos C_{\phi(1)}, C_{\phi(2)} y C_{\phi(3)}+(1,0) también son disjuntos dos a dos.

(Generalice!)

The problem is choice

octubre 20, 2010

Sean A,B dos espacios de Banach y sea f: A \to B una funcion lineal continua y sobreyectiva.

Tenemos una curva x:[0,1] \to B continua.

¿existe una curva \overline{x} :[0,1] \to A continua tal que \overline x f = x ?

Claro

octubre 15, 2010

Si N es un subgrupo de un grupo abeliano finitamente generado M tal que M y N\oplus M/N son isomorfos, entonces N es un sumando directo de M.

Cosas disparatadas

septiembre 29, 2010

El número de figuras convexas que se pueden armar con un Tangram es primo.

Sea f : [0,1] \to \mathbb{R} una función continua tal que f(0) = f(1).
(a) Demostrar que para todo n \in \mathbb{N} existen dos puntos x,y a distancia \frac{1}{n} tales que f(x)=f(y).
(b) ¿Se puede decir lo mismo para otras distancias d \in [0,1] que no sean de la forma \frac{1}{n}?

Una función holomorfa en una bola cuya parte real se anula en un conjunto de medida (de Lebesgue) positiva, es constante.

Segregacionista

agosto 14, 2010

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre \mathbb R, y sea A \subset V un subconjunto convexo con la siguiente propiedad: si v \in A y -v \in A entonces v = 0. ¿Es cierto entonces que existe un funcional lineal \phi tal que \phi (a) > 0 para todo a \neq 0 ? En otras palabras: ¿hay un hiperplano que separa el espacio en dos componentes, de forma que A está totalmente contenido en una de ellas?

El resultado es cierto en el caso en que A = C_+(v_1, \ldots, v_n) = \mathbb{R}_{\geq 0}v_1 + \ldots + \mathbb{R}_{\geq 0} v_n y v_i \notin C_+(v_1, \ldots, \widehat v_i, \ldots, v_n). En este caso, ¿se puede escribir a A como una intersección completa de semiespacios (es decir, conjuntos de la forma \phi_i^{-1}((0,+\infty)) con \phi_i funcionales adecuadas)? Dar las funcionales en función de los v_i.

Nota de color, necesito esta cuenta para poder demostrar que una cierta álgebra medio fea es un subanillo de un anillo de polinomios torcidos🙂.