Guardar conjuntos en cajas
abril 20, 2007
Probar que todo conjunto compacto en el plano se puede inscribir en un cuadrado (de modo que toque todos los lados).
Decidir si hay un conjunto compacto en el espacio que no se puede inscribir en un cubo de modo que toque todas las caras.
Seminario de Problemas 
Mi viejo tiró una idea que creería que anda, pero falta formalizar.
La onda es que al conjunto (en el plano) obviamente lo podemos rotar todo lo que queramos. Lo metemos en el rectángulo que toque su coordenada en el eje «Y» más baja y la más alta, y en el eje «X» también. Si el rectángulo es un cuadrado gané, y sino, tiene más ancho que alto, por ejemplo. (Ancho es la longitud en el eje x, alto en el y). Vas rotando la figura y siempre la metés en su rectángulo correspondiente; al rotarla 90° ya te quedó al revés que el rectángulo original, y queda más alto que ancho. Entonces, como la deformación del rectángulo fue continua al rotar la figura (que es la parte que dije que falta formalizar, porque ni loco intento escribir eso en la pc, pero creo que intuitivamente se ve), en algún momento el alto fue igual que el ancho, y ahí lo metimos en un cuadrado.
Me parece a priori obvio que si existe un cubo que encierra al compacto de manera tal que éste toque todas sus caras, entonces se trata del cubo que minimiza la diferencia entre su área y el área del compacto. Es decir, es el cubo que cubre al conjunto de manera tal que sobre la menor cantidad de área posible. Que existe un cubo que cumple eso se tiene que poder demostrar usando que el conjunto es compacto (o algo así).
Una vez que tenemos ese cubo, veamos que sí o sí el compacto tiene que tocar todas y cada una de sus caras. Supongamos que haya al menos una en la que esto no pase. Como se trata de un compacto, tiene que haber toda una franjita junto al lado del cuadrado tal que el compacto no se mete ahí dentro. Agarremos esa franjita que sobra, cortémosla y distribuyámosla en las otras caras del cuadrado de manera equitativa, para tener un nuevo cuadrado «engordado» del anterior pero con la misma área y que no toca en ningún punto al compacto. Bueno, calculo que eso se puede hacer… y si se puede ya está, porque ahora ese nuevo cuadrado lo podemos achicar aunque sea un poco, contradiciendo que el cuadrado anterior era el que minimizaba el área que sobra entre la suya y la del compacto…
bueno, no sé. eso pensé. saludos.
eso en principio puede generalizarse a cualquier dimensión así que sospecho que hay algo mal. o no.
¿Cuando cortás una rodaja del cubo y la distribuís en las demás caras, no deja de ser un cubo? ¿o sea, no deja de ser igual de largo en todas las direcciones?
Esto igual me interesa porque estuve pensando herramientas para demostrar bien que existe, por ejemplo, el cubo de volumen mínimo, o cosas así.
Ahora pienso, el conjunto [0;100]x[0;100]x[0;99], se puede guardar en un cubo de arista 100, pero que no toca en todas sus caras al conjunto. Por otra parte, creo que es el cubo más chico que puede guardar al conjunto.
sí, andá mal, no podés distribuirlo y que quede bien
bueno, igual probar que existe un cuadrado de volumen mínimo no debe ser tan complicado. Con una convención, dos puntos en el plano determinan un cuadrado y todo cuadrado se representa así… la función que dados dos puntos te da el área del cuadrado menos la parte del área del compacto que queda dentro es continua (creo que esto lo probamos en algún momento en análisis real). Como el conjunto es acotado, podés tomar que la función sale de un compacto… y bueno, alcanza su mínimo, hay dos puntos tal que el cuadrado que determinan te minimiza la diferencia del área del cuadrado con el compacto.
igual no me hagas demasiado caso que soy físico
Enzo.
No me queda claro por qué un cuadrado que minimice el area va a tener que tocar en todos lados. Tal vez es obvio, no se.
Yo lo pienso así: dada una dirección v(t) = (cos(t), sen(t)) uno puede definir el «ancho» de K en la dirección v(t) (o sea, el menor ancho posible de una franja que contiene a K y que es paralela a v(t)). Eso da una función continua A(t) tal que A(t+pi) = A(t).
Decir que hay un cuadrado que inscribe a K es lo mismo que decir que para algún t, vale A(t) = A(t+pi/2). Y eso claramente vale porque A es pi-periódica. O sea, si B(t) = A(t) – A(t+pi/2), entonces B(t+pi/2) = -B(t), y por continuidad B(s) = 0 para algun s entre t y t+pi/2.