Dada f:D^2 \longrightarrow S^1 continua / f|_S = Id_S

\alpha :[0,1]\times [0, 2\pi]\longrightarrow D^2 / \alpha (r,t)=r e^{it}
h=f\circ\alpha
h_0(t)=f(0)
h_1(t)=\alpha_1(t) \forall t
h_r(0)=h_r(2\pi)
sea C = \{z\in S/ arg(z)\in[-3\pi/4,3\pi/4]\}
\exists \epsilon / |x-y|<\epsilon \Rightarrow x/y \in C

h es uniformemente continua porque es continua en un compacto \Rightarrow \exists \delta / |t-s|<\delta \Rightarrow |h_r(t)-h_r(s)|<\epsilon\Rightarrow \frac{h_r(t)}{h_r(s)} \in C \forall t,s,r

sea N \in \mathbb{N}, N > \frac{2\pi}{\delta}, y t_i = \frac {2\pi i}{N} \Rightarrow |t_i - t_{i+1}|<\delta, (i \in \{0,1, \ldots ,N \})

defino f_r^0:[t_0,t_1] \longrightarrow \mathbb{R} / f_r^0(t)=arg(\frac{h_r(t)}{h_r(0)})

f_r^i:[t_i,t_{i+1}] \longrightarrow \mathbb{R} / f_r^i(t)=arg(\frac{h_r(t)}{h_r(t_i)})+f_r^{i-1}(t_i)

f_r^i(t_i)=f_r^{i-1}(t_i)

f_r:[0,2\pi] \longrightarrow \mathbb{R} /f_r(t_i)=f_r^i(t) para t \in [t_i,t_{i+1}]

\frac{h_r(t)}{h_r(t_i)}\in C \forall r,t \Rightarrow arg(\frac{h_r(t)}{h_r(t_i)}) en contnua en t, y las f_r^i se pegan bien, entonces f_r(t) es continua en t.
Ahora quiero ver que f_r es continua en r. Vale para t \in [t_0,t_1]. Supongo que vale para t\in [t_0,t_i]. sé que \frac{h_r(t)}{h_r(t_i)} es continua en r (con t fijo) y sé que cae en C \forall r\in[0,1] luego arg(\frac{h_r(t)}{h_r(t_i)}) es continua ¿me creen? entonces le sumamos f_r^{i-1}(t_i) que es continuo en r por hipótesis inductiva.

f_0(2\pi) =0 \Leftarrow h_0(t) =f(0) \forall t

f_1(2\pi) = \sum_{i=0}^{N-1}arg(\frac{h_1(t)}{h_1(t_i)})=\sum_{i=0}^{N-1}arg(\frac{\alpha_1(t)}{\alpha_1(t_i)})=\sum_{i=0}^{N-1}\frac{2\pi}n=2\pi

ahora quiero ver que \alpha(f_r(t)) =\frac{h_r(t)}{h_r(0)} (o sea que f_r(t) es el ángulo que giró h_r desde 0 hasta t)

Para t\in [t_0,t_1] vale.

\alpha_1(f_r(t))=\alpha_1(f_r^{i-1}(t)).\alpha_1(arg(\frac{h_1(t)}{h_1(t_i)}))=\frac{h_r(t_i)}{h_r(0)}.\frac{h_r(t)}{h_r(t_i)}=\frac{h_r(t)}{h_r(0)}

\alpha_1(f_r(2\pi))=\frac{h_r(2\pi)}{h_r(0)}=1 \Rightarrow f_r(2\pi)\in 2\pi\mathbb{Z}

Entonces tenemos que f_r(2\pi) me da 2\pi por la función “cantidad de vueltas” que da la curva h_r(t) y esta es continua. Pero sólo puede tomar valores en 2\pi \mathbb{Z} así que no puede saltar del 0 al 2\pi. RIDÍCULO !!

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: