¿ Qué queremos?

Tenemos I=[0,1] ; X un espacio métrico y \gamma :I\longrightarrow X continua. El objetivo es construir una \delta :I\longrightarrow X continua e inyectiva talque \gamma (0) = \delta (0), \gamma (1) = \delta (1)

Comiendo intervalos:
Sea I_0 = I Supongamos construidos D_i , i < n Intervalos abiertos disjuntos

A_{n-1} = I - \bigcup _{i=1}^{n-1} D_i

Q_{n-1}=\{(x;y)\in I^2 / (x , y) \subset A_{n-1} y \gamma (x) = \gamma (y) \} Habría que ver que Q_{n-1} es compacto (I^2 es compacto y A_{n-1} es cerrado) luego la función (x;y)\longmapsto |x-y| alcanza máximo. Defino D_n = (x,y) con (x;y) \in Q_{n-1} y de medida máxima.

Ahora tenemos construidos \{D_i\}_{i\in \mathbb N}. Tomemos A=I - \bigcup _{i\in \mathbb N} D_i

Observaciones:
1.1) Los D_i son disjuntos \Rightarrow \sum_{i\in \mathbb N} |D_i| \leq 1
1.2) Sean x,y \in A / \gamma (x) = \gamma (y) y tales que (x,y)\neq D_n \forall n
Si D_n\subsetneq(x,y) para algún n, puedo suponer que n es el mínimo, \Rightarrow (x;y)\in Q_{n-1} pero |D_n|< |(x,y)| y |D_n| era máxima. Absurdo.
Luego \nexists n / D_n\subseteq(x,y) \Rightarrow (x;y)\in Q_n \forall n
por lo tanto, |(x,y)|\leq|D_n|\rightarrow_n 0\:\Rightarrow\: x=y

Pegando los bordes:
El objetivo ahora, es construir g:I\longrightarrow I tales que \gamma g es continua, g es inyectiva y Im(g)\subset A

Primero, algo de lenguaje.Dados v, w \in I^2 defino recta(v,w):[v_1,w_1]\longrightarrow I como lo que uno se imagina.

Dados \{J_i\}_{i=1}^n intervalos cerrados disjuntos y B=\{f_i:J_i\longrightarrow I \} continuas, llamamos FB:I\longrightarrow I a la función que completa a las f_i con rectas.

Empezamos con f_1 = id_I y J_1=I y B_1=\{f_1\}
Dados {[x_i,y_i]}_{i=1}^m intervalos cerrados disjuntos ordenados (y_i <x_{i+1}) y B_{n-1}=\{f_i:[x_i,y_i]\longrightarrow I \} tales que f_i(y_i)=f_{i+1}(x_{i+1})
sea a_i=\frac {x_i+y_i} 2. Pueden pasar 2 cosas:
A)si a_i \in A,
defino
J_i^0=[x_i,a_i], y f_i^0:J_i^0\longrightarrow I
y
J_i^1=[a_i,y_i], y f_i^1:J_i^1\longrightarrow I
las restricciones
B) si a_i \in D_q=(c,d) para algún q \in \mathbb N
defino
J_i^0=[x_i,c] f_i^0 = recta((x_i;f_i(x_i)),(c;\frac {f_i(x_i)+f_i(y_i)} 2))
y
J_i^1=[d,y_i] f_i^1 = recta((d;\frac {f_i(x_i)+f_i(y_i)}2),(y_i;f_i(y_i)))
defino B_n=\{f_i^0\}_{i=1}^m\cup \{f_i^1\}_{i=1}^m

F_n|_{A_n} es inyectiva. Puedo definir una pseudoinversa de
F_n, \: G_n:I\longrightarrow I de forma que sea continua a derecha.

Ya tenemos las F_n y las G_n

Y ahora?

Ahora, llamemos F_n=FB_n (para escribir menos)
Es difícil de escribir, pero con esta construcción, es fácil ver que:
2.1) |F_{n-1}-F_n|<2^{-n} \Rightarrow F_n\rightrightarrows F cont.
2.2) |G_{n-1}-G_n|<D_m \Rightarrow G_n\rightrightarrows G, y \gamma \circ G_n es cont.\Rightarrow \gamma \circ G_n\rightrightarrows \gamma \circ G que resulta continua.
2.3)t=F_n(G_n(t))\Rightarrow F(G(t)) luego G es inyectiva.
2.4)Im(G) \subset A

2.1) Es porque en cada paso, definimos la F_{n+1} como el promedio de los valores de F_n en los extremos de cada intervalo.
2.2) Es por cómo agarramos al D_q
2.3) |F_n(G_n(t))-F(G(t))| \leq |F_n(G_n(t))-F(G_n(t))|+|F(G_n(t))-F(G(t))|
el primér término tiende a 0 por la convergencia uniforme y el segundo, porque F es continua.
2.4) Primero, es claro que todos los D_n fueron elegidos en algún paso, porque los lugares donde no definimos ninguna función de B_n son intervalos cuyas longitudes tienden a 0.
Veamos que \forall t G_m(t) \rightarrow G(t) , A_n es cerrado y G_m(t) \in A_n, si m \geq n entonces G(t)\in A_n \forall n
Por lo tanto, G(t)\in A

Por último, \gamma \circ G es inyectiva por (4.2) y (2.1)

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