Supongamos que tenemos E_i cerrados disjuntos 2 a 2 que cubren I= [0,1] .

Sea A_n = (0,1) - \bigcup_{i=1}^n E_i es abiero.

Voy a construir F_n:I\longrightarrow I funciones que converjan uniformemente.

Agarramos F_0 la identidad de I

F_1 es constantemente \frac 1 2 en E_1 y después rectas. (esto se puede)

Supongamos construidas las F_i para 1 \leq i \leq n-1

sean \{a_i\} \{b_i\} tales que A_{n-1} = \bigcup_{i=1}^\infty (a_i,b_i)

y supongamos que sabemos que |F_{n-1}(a_i) - F_{n-1}(b_i)| \leq \frac{1}{2^{n-1}}

defino F_n como:

Constantemente \frac{F_{n-1}(a_i) + F_{n-1}(b_i)}2 en E_n \cap (a_i,b_i) , y después rectas para unir la función con F_{n-1}, en I-A_{n-1}. Esto se puede porque E_n no contiene ningún a_i o b_i . Es claro que si \{c_i\} y \{d_i\} son tales que A_n = \bigcup_{i=1}^\infty (c_i,d_i) entonces |F_{n}(c_i) - F_{n}(d_i)| \leq \frac 1{2^n}

Las F_n son continuas, y |F_n-F_{n-1}| \leq \frac 1 {2^n} entonces convergen uniformemente a una F que tiene que ser countinua.

F es continua, va del 0 al 1 y toma numerables valores. (Notar que dado x \in I, F_n(x) es casi constante, y converge a un número racional)

Ridículo.

Observación:

Si esto está bien, (que creo que sí) entonces sale falso el problema de cubrir un cuadrado abierto con numerables bolas cerradas de interiores disjuntos. Basta encontrar alguna curva continua que se choque con infinitas bolas (pero con ninguno de los numerables puntos de intersección), y tomar preimagen.

13 comentarios to “El problema de los cerrados del [0,1]”

  1. unimbecil said

    No entiendo la construcción, especialmente cuando decís “constantemente tal cosa en E_n y después rectas”.
    No está claro qué propiedades esperás que tengan tus funciones, entonces no me resulta obvio qué significa “después rectas”.

    Podrías explicar mejor cual es el objetivo de la construcción? (cuales son las propiedades que te interesan de las F_n)
    Y por qué pasa lo último? (que si F_n converge entonces converge a un racional)

  2. julianhaddad said

    Tenés razón. Lo escribí como el culo =). La idea es: dado un cerrado E\subset I podemos construir una función que valga 0 en 0, 1 en 1 y \frac 1 2 en E así: el complemento de E es una unión numerable de intervalos abiertos (salvo los de las puntas). En el intervalo [0,a), ponemos una recta que una el (0,0) con el (a,\frac 1 2) en el (b,1] ponemos la recta que une el (b,\frac 1 2) con el (1,1). En el [a,b] la definimos constantemente \frac 1 2.

  3. julianhaddad said

    Para definir F_n en un (a_i,b_i), se hace una construcción como la anterior, para que en F_n(a_i) = F_{n-1}(a_i) yF_n(b_i) = F_{n-1}(b_i), y en el cerrado de adentro, valga el promedio de los dos. En el complemento del abierto A_n, definimos F_n=F_{n-1}. Como E_n \cap A_m = \emptyset \: \forall m \geq n, las F_m(x)=F_n(x) \forall x\in E_n. Lo que importa es que en todo el conjunto E_n \cap (a_i,b_i), la F toma el mismo valor. Y hay numerables de esos. Entonces toma sólo numerables valores. Lo de racional, está de más.

  4. julianhaddad said

    Mi nombre es Julián. Mucho gusto.

  5. charlydif said

    ¡Que elegancia!

  6. unimbecil said

    Cómo queda esa construcción si E_1 es el conjunto de cantor, por ejemplo? (o sea que a = 0, b= 1 en la construcción de F_1, y entonces no sé si tiene que ser constantemente 1/2 en todo [0,1] o qué, porque pedís que valga 0 en 0 y 1 en 1)

    Perdón por la insistencia, es que no termino de caer…

  7. julianhaddad said

    Sí. Eso es porque el cantor contiene al 0 y al 1.
    Es que está mal. En realidad probé que no se puede cubrir al (0,1).
    Pero:
    Si puedo cubrir el [0,1] entonces puedo cubrir el [0,1] menos el o los cerrados que tengan a los bordes. Eso es un abierto que se escribe como unión de intervalos abiertos. Por esto, cubrir el [0,1] es equivalente a cubrir el (0,1). Perdón por todas las vueltas. ¿con quién tengo el agrado de hablar?

  8. marlowepi said

    Me encantó…

  9. unimbecil said

    Ahora sí me quedó claro. Muy bueno!

    Un comentario:
    Con lo que decís, estas probando que si podes cubrir con cerrados disjuntos entonces podés cubrir con intervalos cerrados disjuntos: si los cerrados son F_1, F_2,… entonces definís F_11 = [a,b] como hiciste vos, a es el mínimo de F_1 y b es el máximo. En el n-ésimo paso, mirás los (a_i, b_i) como tomaste vos (tal que la unión de ellos es el complemento de la unión de F_1,…,F_{n-1}) y definís F_ni como el intervalo [a,b] donde a es el minimo de la intersección de F_n con (a_i, b_i) y b es el máximo.
    Eso te da una familia F_11, F_21, F_22,… F_31,F_32,… enumberable de intervalos cerrados disjuntos cuya unión es (0,1).

    Ahora basta probar que eso no es posible, que debe ser mucho más fácil. La idea es que si mirás el conjunto S de puntos extremos de los F_ij’s, uno puede probar que S es perfecto (es cerrado y todo punto es punto de acumulación). Y no es difícil probar que todo conjunto perfecto es no enumerable.

  10. charlydif said

    unimbecil, nosotros nos juntamos regularmente cada 15 dias en la facultad….la proxima reunion es el miercoles que viene (8 de agosto) a las 10 30 en el aula de seminarios de la facultad. Estas invitado a venir el miercoles y todos los miercoles que quieras. Y nos encantaria que vayas. Te mande un mail a unimbecil@gmail.com aunque no se si lo lees. Cualquier cosa, si por ejemplo no sabes llegar a la facultad o no la conoces…etc etc.. preguntame.

  11. unimbecil said

    Gracias por la invitación, lo que pasa es que no estoy en Buenos Aires y no sería fácil para mí ir a esas reuniones. Lo que pasó fue que encontré este grupo por casualidad linkeado por ahí, me pareció copado y me colé con un par de comentarios sin preguntar, no sé si jodo…
    La verdad es que no tengo ni idea de qué se trata, no sabía que este blog estaba asociado a un grupo de gente de verdad que se reune. Como no hay descripción en el blog, supuse que solo era un lugar para postear y discutir problemas.

  12. charlydif said

    Obvio que no jodes….. al contrario tus comentarios son bienvenidos.

  13. charlydif said

    no me acuerdo que otras demostraciones teniamos del problema original (probar que no se puede cubrir un intervalo cerrado con numerables cerrados) pero aca va otra que se me ocurrio hoy:

    Lema: Si tenes un intervalo cerrado I partido en conjuntos cerrados F_1,...,F_n,.. entonces existe un intervalo cerrado J contenido en I, disjunto de F_1 y que toca al menos dos cerrados distintos (y por ende numerables) entre F_2,F_3,....

    El lema es facil y el resto de la demostracion tambien. Empezas con el intervalo I y tomate I_1 disjunto del primer cerrado, despues tomate I_2 contenido en I_1 y disjunto del segundo cerrado y asi… por el lema esto siempre lo podes hacer y nunca para.

    Ahora, tomate x que este en la interseccion de todos los intervalos! ¿En que cerrado esta?

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