Segregacionista

agosto 14, 2010

Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre \mathbb R, y sea A \subset V un subconjunto convexo con la siguiente propiedad: si v \in A y -v \in A entonces v = 0. ¿Es cierto entonces que existe un funcional lineal \phi tal que \phi (a) > 0 para todo a \neq 0 ? En otras palabras: ¿hay un hiperplano que separa el espacio en dos componentes, de forma que A está totalmente contenido en una de ellas?

El resultado es cierto en el caso en que A = C_+(v_1, \ldots, v_n) = \mathbb{R}_{\geq 0}v_1 + \ldots + \mathbb{R}_{\geq 0} v_n y v_i \notin C_+(v_1, \ldots, \widehat v_i, \ldots, v_n). En este caso, ¿se puede escribir a A como una intersección completa de semiespacios (es decir, conjuntos de la forma \phi_i^{-1}((0,+\infty)) con \phi_i funcionales adecuadas)? Dar las funcionales en función de los v_i.

Nota de color, necesito esta cuenta para poder demostrar que una cierta álgebra medio fea es un subanillo de un anillo de polinomios torcidos🙂.

Una respuesta to “Segregacionista”

  1. Grin Without a Cat said

    Cf. Thm. 3.8 en “Combinatorial convexity and algebraic geometry”, de G. Ewald, o—mucho más lindo, pero para convexos/conos finitamente generados— el primero capítulo del libro “Lectures on polytopes” de G. Ziegler.

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