And, after they’ve tested it, tell them to test it again!

junio 4, 2010

A remarkable theoremof Basega (1959) […]: Consider a map T: S \rightarrow S where S is an arbitrary set, and assume that T has a unique fixed point, which is also the unique fixed point of T^n for all n. Then there is a metric on S that makes S a complete metric space and T a contraction. One can even find metrics for which the Lipschitz constant of T is arbitrarily small.

Wolfagang Walter, Ordinary Differential Equations, GTM 182 [RIM]

2 comentarios to “And, after they’ve tested it, tell them to test it again!”

  1. Ivan S said

    Dados S, T, k>1 construimos una métrica para que la constante de Lipschitz de T sea a lo sumo 1/k.

    Consideremos la relación de equivalencia en S definida como x\approx y \Leftrightarrow existen m y n tales que T^m(x)=T^n(y).
    Sea \overline{x} la clase de x. Sea p el unico punto fijo de T y T^n.

    Lema 1: Si x \notin \overline{p}, T^a(x)=T^b(x) \Rightarrow a=b.
    Demostración: Supongamos sin perder generalidad que a\geq b. Luego T^b(x) es punto fijo de T^{a-b}. Entonces a-b=0.

    Lema 2: Si x,y \in \overline{c}\neq\overline{p} entonces T^m(x)=T^n(y) y T^{m'}(x)=T^{n'}(y) \Rightarrow m-n=m'-n'
    Demostración: T^m(x)=T^n(y)=T^{n-n'}(T^{n'}(y))=T^{n-n'}(T^{m'}(x))=T^{m'+n-n'}(x). Por el lema 1 m=m'+n-n'.

    Ahora construimos una métrica definiendo d(p, x) para todo x\in S y d(x,y)=d(x,p)+d(p,y) si x\neq y.

    Si x=p entonces d(p,p)=0.

    Si x\neq p y x\in \overline{p}, definimos d(x,p)=k^n, con n el menor natural tal que T^n(x)=p.

    En cada clase C\neq \overline{p} tomamos un representante c. Para cada x en C consideremos enteros m, n tales que T^m(x)=T^n(c). Definimos d(x,p)=k^{m-n}. Por el lema 2 d(x,p) está bien definido.

    Veamos que (S,d) es completo. Sea x_i una secuencia de Cauchy. Veamos que \lim x_i=p.
    Dado \epsilon existe N tal que m,n>N \Rightarrow d(x_m,x_n)<\epsilon. Pero d(x_m,p)\leq d(x_m,x_n)N, d(x_m,p)<\epsilon. O sea que lim x_i=p.

    Ahora veamos que d(x,y)\geq k\cdot d(T(x),T(y)).

    Lema 3: d(x,p) \geq k \cdot d(T(x),p)
    Demostración:
    Si x \in \overline{p} y T(x)=p vale porque d(x,p)\geq0.
    Si x \in \overline{p} y T(x)\neq p, entonces d(x,p)=k^n donde n es el menor natural tal que T^n(x)=p. Luego d(x,p)=k^n. Pero d(T(x),p)=k^{n-1} porque n-1 es el menor natural tal que T^{n-1}(T(x))=T^n(x)=p. El lema vale.
    Si x está en una clase $C\neq\overline{p}$ entonces d(x,p)=k^{m-n}, con m y n tales que T^m(x)=T^n(c) (el c es el mismo de antes). Pero T^{m-1}(T(x)=T^m(x)=T^n(c). Luego d(T(x),p)=k^{m-n-1} y el lema vale.

    Ahora inmediatamente si x\neq y tenemos d(x,y)=d(x,p)+d(p,y)\geq k \cdot d(T(x),p)+ k \cdot d(T(y),p)\geq k \cdot d(T(x), T(y)), como queríamos ver.

  2. Marlowe, PI said

    Estos pibes van a acabar con mi paciencia…

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