Espacios simétricos

marzo 5, 2010

Sea A un espacio métrico. Decimos que otro espacio métrico M es inmersible en A si existe una isometría M\to A. A se dice simétrico si para todo espacio métrico M inmersible en A, cada isometría de un subespacio finito de M en A se puede extender a una isometría M\to A.

Probar que si A es un espacio vectorial real de dimensión finita con una distancia invariante por traslaciones, entonces es un espacio métrico simétrico si y sólo si es un espacio euclídeo.

O probar que esto no es cierto.

2 comentarios to “Espacios simétricos”

  1. marcossarini said

    Acá vuelvo con mi gran obsesión, los objetos que llamo “simétricos”. Paso a explicar por qué los llamo así.

    Suponamos que vivo en un espacio métrico A, y hago el siguiente experimento:

    Tomo un cuerpo rígido, es decir, un objeto compuesto por partículas que por algún motivo mantienen las distancias entre sí fijas. Tener el cuerpo ubicado en algún lugar del espacio es equivalente a tener una inmersión de un espacio métrico M en A. Supongamos que elijo algunas partículas P_1, \ldots, P_n del cuerpo rígido, que ocupan los puntos x_1,\ldots,x_n del espacio, y mido las distancias entre estos puntos. Después busco otros puntos del espacio y_1,\ldots,y_n que estén a las mismas distancias respectivas. Entonces trato de trasladar el cuerpo rígido de modo que las partículas P_i pasen a ocupar los lugares y_i. Si esto se puede hacer, sugiere que la ubicación de los puntos x_i es equivalente a la ubicación de los puntos y_i, y me bastó con verificar que las respectivas distancias sean iguales para comprobar que las dos ubicaciones son equivalentes. Si esto sucede siempre, el espacio es “todo igual”, o para ponerle un nombre más profesional, es simétrico.

    Por ejemplo, en el plano, no puedo construir un tetraedro regular, pero sí un triángulo regular. Si encuentro en algún lugar del plano un triángulo equilátero rígido cuyos lados miden d y después encuentro en otro lugar dos puntos a distancia d, seguramente voy a poder encontar un tercer punto que esté a distancia d de ambos, y voy a poder entonces completar la construcción del triángulo en el segundo lugar. El plano es un espacio métrico simétrico: la posibilidad de completar cierta construcción (especificada por propiedades métricas) es independiente del lugar en donde empiece a construirla.

  2. marcossarini said

    Definición más general:

    Sea A un objeto de cierta categoría y consideremos una familia \mathcal{F} de “objetos de prueba” de la categoría que quiero “construir” adentro de A. Cada objeto de prueba M está provisto de un conjunto de “subobjetos” que son morfismos i:N\to M con N\in \mathcal{F}. Una construcción de un objeto de prueba M en A es un morfismo M \to A. Si existe una tal construcción, decimos que M es construible en A. Decimos que A es simétrico respecto de la familia \mathcal{F} si para todo M \in \mathcal{F} construible en A y para cada i:N\to M subobjeto de M construido en A mediante cierta f:N\to A, existe una construcción de M en A (una g:M\to A) que extiende la construcción de N (tal que g\circ i=f).

    Ejemplos:

    1) Una esfera es un espacio simétrico si se la considera en la categoría de los espacios métricos con las isometrías como morfismos, aún si se admiten como objetos de prueba todos los espacios métricos, y para cada espacio simétrico se consideran todos sus subespacios como subobjetos. Sin embargo, no es simétrico si se admiten como morfismos las semejanzas (funciones que multiplican las distancias por un número positivo fijo), pues si así lo fuera deberían hallarse en la esfera copias más chicas de la misma.

    2) Un cilindro recto infinito de radio r con la distancia del camino mínimo es simétrico si se consideran como objetos de prueba los subespacios de diámetro menor o igual que r, pero no es simétrico si se considera como espacio de prueba la recta real con su métrica usual, pues ésta se puede construir a lo largo del cilindro pero no se puede ubicar en otras posiciones.

    3) Un espacio real normado con producto interno es simétrico como espacio métrico si se consideran todos los espacios métricos como objetos de prueba pero sólo se consideran subobjetos los subespacios finitos. Si se admiten todos los subespacios como subobjetos, el espacio resulta simétrico sii tiene dimensión finita.

    4) Una variedad riemanniana simétrica como espacio métrico en donde se toman los espacios métricos de diámetro acotado por cierta constante como objetos de prueba y sus subespacios finitos como subobjetos) debe tener curvatura constante. Si se consideran también semejanzas, la curvatura debe ser nula.

    Me gustaría saber qué pasa con las variedades de Finsler (en cada espacio tangente hay una norma) y, en general, con los espacios métricos arcoconexos.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: