Yo pensaba que entendía a los polinomios…

marzo 2, 2010

Sean p \in \mathbb{Z}[X] y Q\in  \mathbb{Z} tales que:
p(0)\equiv p(1) \equiv \cdots \equiv p(n) \equiv 0 (Q)
donde n=\deg(p) .

Probar que p(m)\equiv 0 (Q) para todo m \in  \mathbb{Z} .

4 comentarios to “Yo pensaba que entendía a los polinomios…”

  1. ... said

    Por inducción en n. El caso n=0 es trivial. Supongamos que vale para n. Veamos que vale para n+1.

    Sea q = X(X-1)…(X-n). División de polinomios en Z[X] da p=aq+r, donde a \in Z y r \in Z[X] de grado a lo sumo n. Evaluando en 0,1,\ldots,n módulo Q y usando la hipótesis inductiva obtenemos que r es idénticamente cero módulo Q. Ahora evaluando en n+1 obtenemos 0 = q(N+1) = a N! (mód Q) así que Q | a N!. Sea x entero. Sea X congruente a x módulo Q tal que X > N. El coeficiente binomial (X en N) es entero, lo que da que N! | X(X-1)…(X-n) y, luego, a N! | aX(X-1)…(X-n); como Q | a N! tenemos Q | aX(X-1)…(X-n), así que p(x) = ax(x-1)…(x-n) + r(x) = 0 (mód Q), para todo entero x, que es lo pedido.

  2. Grin Without a Cat said

    Alternativamente, y por inducción también: sea r(x)=p(x+1)-p(x). Entonces r\in\mathbb Z[x], y r(0)\equiv\cdots\equiv r(n-1)\equiv0\mod Q, así que inductivamente r(m)\equiv0\mod Q cualquiera sea m\in\mathbb Z. Ahora bien, es p(0)\equiv0\mod Q por hipótesis, así que si m<0 es p(m)=-\bigl(r(m+1)+\cdots+r(0)\bigr)+p(0)\equiv0\mod Q, y si m>0 es p(m)=r(0)+\cdots+r(m-1)+p(0)\equiv0\mod Q.

    • Grin Without a Cat said

      Si uno considera el polinomio \frac1Qp\in\mathbb Q[X], entonces lo que uno prueba es: un polinomio en \mathbb Q[X] de grado n que toma valores enteros en n+1 enteros consecutivos de hecho toma valores enteros sobre todo \mathbb Z.

  3. quimey said

    Esa era la motivación para pensar eso😛
    Está sacado de un problema de ACM-ICPC.

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