Club del exolímpico conflictuado

febrero 25, 2010

En una ciudad en la que viven n personas, hay m clubes formados exclusivamente por habitantes de la ciudad. Cada club tiene una cantidad impar de miembros, y para cualesquiera dos clubes distintos, la cantidad de integrantes que tienen en común es par.
Demostrar que no puede haber más clubes que personas, es decir, que m \le n.

Una respuesta to “Club del exolímpico conflictuado”

  1. Grin Without a Cat said

    Sea P el conjunto de las n personas, sea \mathscr P(P) el conjuntos de partes de P y sean c_1,\dots,c_m\in\mathscr P(P) los conjuntos de miembros de los clubes. \mathscr P(P) es un \mathbb F_2-espacio vectorial de dimensión n con suma dada por la diferencia simétrica, y la función \langle\mathord-,\mathord-\rangle:(a,b)\in\mathscr P(P)\mapsto |a\cap b|\in\mathbb F_2 es bilineal.

    La hipótesis es que \langle c_i,c_j\rangle=0 si i\neq j, y que \langle c_i,c_i\rangle=1 para cada i. Esto implica, as usual, que \{c_1,\dots,c_m\} es linealmente independiente en \mathscr P(P). Pero entonces m\leq\dim\mathscr P(P)=n.

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