Extensiones simétricas de cuerpos

febrero 23, 2010

Este pregunta es sobre extensiones de cuerpos. No sé si es difícil o no, pero la voy posteando por si a alguien le interesa.

Supongamos que F/k es una extensión algebraica de cuerpos, y que yo quiero construir un automorfismo de la extensión, es decir, un automorfismo de F que deje fijos a los elementos de k. Una opción fácil es la identidad de F, pero (parafraseando a Kennedy), no hacemos estas cosas porque son fáciles, sino porque son difíciles. No, no quiero la identidad. Tomo un polinomio irreducible con coeficientes en k y dos raíces distintas a,b\in F y decido que mi automorfismo va a mandar a \mapsto b. Así puedo definir un isomorfismo de k(a) \to k(b), que son dos subcuerpos de F. Haciendo más elecciones caprichosas quizás logro extender mi isomorfismo un poco más, de modo que tengo un \sigma:E\to E' con E,E' \subseteq F. La pregunta es:

¿Puede pasar que me trabe? ¿Puede pasar que no haya forma de extender \sigma a un automorfismo \overline{\sigma} de F/k?

Enunciado formal:

Digo que una extensión algebraica F/k es simétrica si para cualquier \sigma:E\to E' isomorfismo entre subextensiones de F/k existe \overline{\sigma} \in Aut(F/k) tal que \overline{\sigma}|_E=\sigma. Es fácil ver que toda extensión normal o que no tenga subextensiones propias es simétrica. Quiero saber si hay alguna extensión no simétrica.

4 comentarios to “Extensiones simétricas de cuerpos”

  1. Grin Without a Cat said

    Sea F=\mathbb Q(x,y), sean a=x^2+y y b=x^2y, ambos elementos de F, y sea k=\mathbb Q(a,b). Sea E=E'=\mathbb Q(x^2,y). Hay un automorfismo \sigma:E\to E tal que \sigma(x^2)=y y \sigma(y)=x^2 y que se restringe a la identidad de k. Pero \sigma no extiende a F, porque x^2 tiene una raiz cuadrada en F pero y no.

  2. marcossarini said

    Bien… incluso se puede poner x=\sqrt[4]{2} e y=-\sqrt{2} y así queda que \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})/\mathbb{Q} no es simétrica.

  3. Grin Without a Cat said

    Queda la pregunta: ¿Qué extensiones tienen esa propiedad?

  4. marcossarini said

    Claro, por supuesto… aparentemente es un poco menos que normal, pero me intriga saber si hay alguna caracterización como la de las extensiones normales: “todo polinomio irreducible del cuerpo base que se empieza a factorizar en la extensión, se termina de factorizar en la extensión”.

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