Familias

noviembre 23, 2009

  • Sea \mathcal F una familia de funciones analíticas definidas sobre un abierto U\subseteq\mathbb C. Si para cada z\in U el conjunto \{f(z):f\in\mathcal F\} es finito, ¿es necesariamente la familia \mathcal F finita?
  • ¿Qué pasa si las funciones de \mathcal F son solamente infinitamente diferenciables?

Si en el primer punto reemplazamos la palabra «finito» por «numerable», entonces el enunciado que se obtiene es, de acuerdo a un teorema de Paul Erdős, independiente de \mathrm{ZFC}. (!!)

P. Erdős., An interpolation problem associated with the continuum hypothesis.

7 comentarios to “Familias”

  1. Anónimo said

    esto tiene olor a Baire.

    tomamos A_n el conjunto de puntos de U tales que \{f(z):f\in\mathcal F\} tiene n elementos.

    Alguno tiene que tener interior no vacío, porque de lo contrario, la unión tendría interior vacío. Y la unión es el mismo U.

    Y ahora no sé qué hacer…

  2. Anónimo said

    Tenemos nuestro abierto $G=A_n$ en el cual $\{ f(z)/ f\in F \}$ tiene n elementos para todo z. ahora si muevo z en G, los puntos de \{ f(z)/f\in F \}, podrían chocarse!!. Pero achicamos el abierto a un $B \subset G$ de forma tal que esto no pase (podemos hacer esto porque son todas continuas).

    Ahora es claro que en B tenemos definidas exactamente n funciones, y que estas son todas (en el caso analítico).

  3. julianhaddad said

    en el caso C infinito, en U=[0,1] podemos tomar f_n que valga 1 desde 0 hasta 1/n y 0 desde 1/(n+1) hasta 1. hay a lo sumo 3 valores, pero son infinitas

  4. Juan Domingo Petruza said

    U conexo, no?

  5. Marlowe, PI said

    No entendí bien la solución de anónimo, pero creo que va por este lado…

    Una vez reducidos a un abierto G chiquito, podemos tomar una bolita cerrada contenida adentro. Dos funciones analíticas _distintas_ pueden coincidir en a lo sumo finitos puntos ahí adentro por el principio de identidad. Eso quiere decir que L_{ij} = \{ z: f_i(z) \neq f_j(z)\} tiene medida igual a |G|. Luego L_{ijk} = \{ z: |\{f_i(z), f_j(z), f_k(z)\}| = 3 \} = L_{ij} \cap L_{ik} \cap L_{jk} es de medida igual a la de G, etc. Así, en la myoría de los puntos de G, n funciones distintas tomarán n valores distintos.

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