Respuesta sencilla a pregunta compleja

octubre 11, 2009

Es sabido que si z\in\mathbb{C}, la única forma de que se anule f(z)=1+z^2 es que sea z=\pm i. Así, si x\in\mathbb{R}, como la distancia entre x y cualquiera de los puntos \pm i es \sqrt{1+x^2}, siempre que |z-x|<\sqrt{1+x^2} sabremos que f(z)\neq 0. La pregunta es: ¿se puede probar esto sólo acotando, sin usar el argumento de que las raíces de f son \pm i?

Por ejemplo: ¿Se puede probar que si elegimos un real x y consideramos la matriz X=xI_n \in \mathbb{R}^{n\times n}, entonces toda otra matriz cuadrada Z que esté a distancia menor que \sqrt{1+x^2} de X será inversible? Acá la distancia me parece que debería ser la dada por la norma de Frobenius, que es elevar al cuadrado todos los coeficientes, sumar y tomar raíz cuadrada. O alternativamente, se calcula con la fórmula \|A\|=\sqrt{tr(A^tA)}. (Después de esto hay que normalizar dividiendo el resultado por \sqrt{n} para que I_n tenga norma 1.)

Una formulación precisa creo que es la siguiente: Sea \mathcal{A} una \mathbb{R}-álgebra normada con unidad I, y sea x \in \mathbb{R}. Sea z \in \mathcal{A} tal que \|z- xI\| < \sqrt{1+x^2}. Probar que 1+z^2 es inversible. Se puede suponer que el producto es conmutativo para la prueba.

Nota: No me consta que sean ciertas estas cosas.

2 comentarios to “Respuesta sencilla a pregunta compleja”

  1. marcossarini said

    Otro ejemplo: Probar que si x\in\mathbb{R} y z cuaternio son tales que |z-x|<\sqrt{1+x^2}, entonces 1+z^2\neq 0.

    Lo que en realidad quiero hacer es probar que si desarrollo en serie de Taylor la función f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=\frac{1}{1+x^2} en un punto x_0\in\mathbb{R} cualquiera, obtengo una serie de potencias con radio de convergencia \sqrt{1+x_0^2}. Esto es un ejercicio rutinario de análisis complejo, pero la solución tiene que ser sin usar complejo. Sólo análisis de variable real.

    Obs.: f(x)=\frac{1}{1+x^2} es la derivada de F(x)=\tan^-1(x).

  2. Grin Without a Cat said

    Sean f(x)=(1+x^2)^{-1} y x_0\in\mathbb R, y supongamos que la serie de Taylor de f alrededor de x_0 es \sum_{n\geq0}a_n(x-x_0)^n. La serie converge a f en algun entorno de x_0 porque f es analítica real en x_0.

    A partir de la igualdad (1+x^2)f(x)=1 y por inducción, podemos ver que (1+x^2)f^{(n)}(x)+2nxf^{(n-1)}(x)+n(n+1)f^{(n-2)}(x)=0 para todo n\geq2. Dividiendo por n!, simplificando, y recordando que a_n=f^{(n)}(x_0)/n!, vemos que los coeficientes de la serie satisfacen una recurrencia lineal:

    (1+x_0^2)a_n + 2x_0a_{n-1} + a_{n-2} = 0.

    y dos condiciones extra (que se obtienen de la ecuacion (1+x_0^2)f(x_0)=1 y de su derivada). Estas recurrencias se resuelven as usual y vemos que

    a_n = \frac12 i \left[\frac1{(i+x_0)^{n+1}}+\frac{(-1)^n}{(i+x_0)^{n+1}}\right] = \Im\left(\frac{(-1)^n}{(x_0-i)^{n+1}}\right).

    Usando esta expresión, es facil ver que el radio de convergencia de la serie es precisamente \sqrt{1+x^2_0}.

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