Sabanitas.

octubre 7, 2009

Sea f:\mathbb R^n \to \mathbb R una función C^1 que tiene un mínimo local en 0, tal que f(0)=0 y f=-1 en \partial B_0(1)

Entonces f tiene al menos dos puntos críticos distintos de 0

(Y si n=\infty entonces tiene al menos uno)

3 comentarios to “Sabanitas.”

  1. martingrupofundamental said

    Solución tentativa:
    Tomamos el campo vectorial dado por el gradiente de f y suponemos que f tiene 2 o un punto crítico.
    Elegimos un xmax que maximiza a f dentro de la bola B. xmax debe ser distinto de 0, de lo contrario 0 estaría en entorno donde f es constante y tendriamos infinitos puntos criticos.
    Tenemos 0 y xmax puntos criticos y por hipótesis no hay otros.
    El campo vectorial nunca es tangente a la frontera de B (a la que llamamos S), ya que f es constante -1 en ella y no hay puntos críticos en S (de hecho el gradiente es ortogonal al hiperplano tangente).
    Entonces podemos aplicar un teorema de Poincare que nos dice que la suma de índices de los ceros del campo en B debe ser 1. Como 0 y xmax no son puntos silla tienen índice 1 y para que la suma total de 1 deducimos que debe haber por lo menos 1 cero del campo con índice -1, o sea un tercer punto crítico que resulta ser punto de ensilladura.

  2. julianhaddad said

    mmm… 0 y xmax tienen índices 1 y (-1)^n (o al revés)

  3. martingrupofundamental said

    tenés razón, lo razoné para n=2 donde conozco las pruebas y los resultados me parecen intuitivos.
    el índice de xmax es 1 y el de un mínimo es (-1)^n. la suma tiene que dar 1 si los vectores apuntan hacia afuera en la frontera y (-1)^n si apuntan hacia adentro. Y tenemos que 1 + (-1)^n es distinto a 1 y a (-1)^n con lo que llegamos a una contradicción.
    alguna corrección?
    use poincaré-hopf y característica de euler de B=1 porque es contráctil.

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