El sueño de la razón produce monstruos

septiembre 19, 2009

Si \Omega\subseteq\mathbb{C} es un abierto, digamos que un punto z_0\in\partial\Omega es complicado si para cada curva \alpha:(0,\infty)\to\Omega que converge a z_0 cuando t\to\infty es

\displaystyle\limsup_{t\to\infty}\mathrm{arg}\;(\alpha(t)-z_0)=+\infty

y

\displaystyle\liminf_{t\to\infty}\mathrm{arg}\;(\alpha(t)-z_0)=-\infty,

(Es fácil ver que puede darse un sentido razonable al argumento en esta situación)

Dé un ejemplo de un conjunto \Omega que tenga un punto complicado en su frontera. ¿Pueden ser complicados todos los puntos de la frontera de un abierto acotado?

espiral

Digamos tambien que un punto z_0\in\partial\Omega es positivamente semi-complicado si

\displaystyle\lim_{t\to\infty}\mathrm{arg}\;(\alpha(t)-z_0)=+\infty

para cada curva \alpha(0,\infty)\to\Omega tal que \lim_{t\to\infty}\alpha(t)=z_0, y que es negativamente semi-complicado si el límite existe pero vale -\infty.

¿Pueden ser todos los puntos de la frontera de un abierto acotado semi-complicados? ¿Y todos positivamente semi-complicados?

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