Para Charly que lo sigue por la Web

septiembre 17, 2009

Sean n\in\mathbb{N} e I \subseteq \mathbb{R} intervalo abierto. Sea k<n. Una curva paramétrica \alpha: I \to \mathbb{R}^n k veces derivable se dice k-regular en un t \in I si los vectores \alpha'(t), \ldots, \alpha^{(k)}(t) son linealmente independientes.

Se puede ver que si la traza (imagen) de \alpha está contenida en un subespacio de dimensión k, no puede ser  (k+1)-regular en ningún t.

Por otra parte, para cada k \geq 2 puede conseguirse una curva que no es nunca k-regular pero cuya traza no está contenida en ningún subespacio propio de \mathbb{R}^n.

Decidir si vale el siguiente teorema:

Si \alpha es k-regular en todo t pero no es (k+1)-regular en ningún t, entonces su imagen está contenida en algún subespacio de dimensión k.

Una respuesta to “Para Charly que lo sigue por la Web”

  1. marcossarini said

    Comparar con el siguiente teorema: Una función derivable f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} es constante si y sólo si su derivada es constantemente nula.

    Una implicación es trivial, pero para probar la otra (por el absurdo) se suele suponer que la función toma valores distintos en dos puntos a y b y aplicar el teorema de valor medio de Lagrange, que relaciona el valor de la función en estos lugares con el valor de la derivada en un punto intermedio.

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