A pesar de todo

agosto 26, 2009

Sabemos que si f:\Omega\to\mathbb C es una función holomorfa definida en un abierto de \mathbb C que contiene al disco unidad B_1(0), entonces

\displaystyle g(z)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{\zeta\in\partial B_1(0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,\mathrm d\zeta.

Más generalmente, muestre que si f es solamente suave vale que

\displaystyle g(z)=\frac1{2\pi i}\int\limits_{\zeta\in\partial B_1(0)}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,\mathrm d\zeta-\frac{1}{\pi}\iint\limits_{{\zeta=x+iy\in B_1(0)}}\frac{\partial f}{\partial\bar z}(\zeta)\frac{1}{\zeta-z}\,\mathrm d x\,\mathrm d y,

donde \displaystyle\frac{\partial}{\partial \bar z}=\frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right) es el operador de Cauchy-Riemann.

Nótese que f es holomorfa sii \partial f/\partial\bar z=0, en vista del teorema de Cauchy-Riemann, así que la segunda igualdad se reduce a la primera cuando f es holomorfa en \Omega.

Una respuesta to “A pesar de todo”

  1. godelian said

    No hice la cuenta, pero si no me equivoco esto debería ser una forma bonita de expresar el teorema de Green tal vez. Hay todavía una expresión que se me había ocurrido hace un tiempo que creo que sigue la misma idea: Supongamos que ahora integramos sobre una curva cerrada plana pero en 4 dimensiones, y que en vez de números complejos usamos cuaternios (podemos definir la “integral derecha/izquierda” según el orden de la multiplicación). Si consideramos un plano cualquiera y nos fijamos en todas las funciones allí “holomorfas” en el sentido de que el cociente incremental (“derecho/izquierdo”) tiende a lo mismo a lo largo de todas las direcciones pertenecientes a ese plano, entonces resulta que la integral de f coincide con la integral doble de f’ en el interior de la curva multiplicado por un cierto coeficiente que depende del plano, pero que resulta ser 0 cuando los planos elegidos son justamente las copias de C que hay dentro de los cuaternios. Creo que en el fondo esto, el enunciado del problema y el teorema de Green deben hablar de lo mismo, ¿no?.

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