Urgh

mayo 21, 2009

El teorema de Krein-Milman nos dice que un convexo compacto en un espacio localmente convexo (por ejemplo, un espacio de Banach) es la clausura de la cápsula convexa del conjunto de sus puntos extremales.

Muestre que si el espacio es de Banach de dimensión infinita, entonces casi todo convexo compacto es la clausura de su conjunto de puntos extremales. Aquí “casi todo convexo” significa lo siguiente: el conjunto de los convexos compactos que satisfacen esa propiedad es de primera categoría en el espacio métrico de los convexos compactos con su métrica de Hausdorff.

(Para que esto tenga algún sentido, hay que ver antes que el conjunto de los compactos convexos de un espacio de Banach, dotado de la métrica de Hausdorff, es un espacio métrico completo, claro…)

5 comentarios to “Urgh”

  1. Anónimo said

    no entendí. No me imagino ningún convexo que cumpla la propiedad

  2. Grin Without a Cat said

    Bueno, es un poco complicado “imaginarse” mucho, ya que se trata de un fenómeno que aparece solamente en dimensión infinita… Un ejemplo, en el que se ve bastante claro qué sucede, es el que sigue, al que podríamos llamar el elipsoide de Hilbert.

    Sea \ell^2_{\mathbb R} as usual y sea
    K=\{(x_i)_{1\leq i}\in\ell^2_{\mathbb R}:\sum_{1\leq i}(2^ix_i)^2\leq1\}.
    Sea \{e_i:1\leq i\} la base canónica de \ell^2_{\mathbb R}. Para cada n\geq1 identifiquemos—de la manera evidente—a \mathbb R^n con el subespacio de \ell^2_{\mathbb R} generado por \{e_i:1\leq i\leq n\}, y sea \pi_n:\ell^2_{\mathbb R}\to \ell^2_{\mathbb R} el proyector ortogonal cuya imagen es \mathbb R^n; notemos que, con respecto a estas identificaciones, tenemos inclusiones \mathbb R^n\subset \mathbb R^{n+1}\subset\ell^2_{\mathbb R} para todo n\geq1. Finalmente, para cada n\geq1 consideremos el elipsoide
    K_n=\{(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb R^n:\sum_{1\leq i\leq n}(2^ix_i)^2\leq1\}.

    Sabemos que K_n es convexo y cerrado para todo n\geq 1, y es fácil ver que K=\bigcap_{1\leq n}\pi_n^{-1}(K_n): esto implica que K es un convexo cerrado de \ell^2_{\mathbb R}. Sea ahora S=(x_k)_{1\leq k} una sucesión en K, con x_k=(x_{k,i})_{1\leq i} para cada k\geq1; a menos de reemplazar a S por una de sus subsucesiones, podemos suponer que para todo i\geq1 existe el límite \lim_{k\to\infty}x_{k,i}=y_i. Si N\geq1, entonces claramente

    1\geq\lim_{k\to\infty}\sum_{i=1}^N(2^ix_{k,i})^2= \sum_{i=1}^N(2^iy_i)^2,

    así que las sumas parciales de la serie de términos positivos \sum_{1\leq i}(2^iy_i)^2 están acotadas por 1: esto implica que la serie converge y que su suma no es mayor que 1. De esto deducimos fácilmente que la sucesión y=(y_i)_{1\leq i} es un elemento de \ell^2_{\mathbb R} que está en K. Así, vemos que K es secuencialmente compacto, así que es compacto.

    Del teorema de Krein-Milman, entonces, sabemos que K es la clausura de la cápsula convexa del conjunto \mathrm{ext}(K) de sus puntos extremos. Mostremos que, de hecho, K es la clausura de \mathrm{ext}(K).

    Para cada n\geq1 sea

    E_n=\{(x_i)_{1\leq i\leq n}\in\mathbb R^n:\sum_{1\leq i\leq n}(2^ix_i)^2=1\}.

    Es fácil ver que E_n es el conjunto \mathrm{ext}_{\mathbb R^n}(K_n) de los puntos extremos de K_n considerado como subconjunto de \mathbb R^n. Pongamos E=\bigcup_{1\leq n}E_n. Esta unión es creciente, ya que E_n\subset E_m si n\leq m.

    Afirmo que (i) E\subset\mathrm{ext(K)} y que (ii) E es denso en K. Por supuesto, esto implica que \mathrm{ext}(K) es denso en K, que es lo que queremos mostrar.

    Para ver (i), supongamos por el contrario que existen z\in E, x,y\in L y t\in(0,1) tales que z=tx+(1-t)y y x\neq y. Existe n_1\geq1 tal que z\in E_{n_1}. Por otro lado, existe n_2\geq n_1 tal que \pi_{n_2}(x)\neq\pi_{n_2}(y). Como z\in E_{n_1}\subset E_{n_2}, tenemos que

    z=\pi_{n_2}(z)=t\pi_{n_2}(x)+(1-t)\pi_{n_2}(y)\in E_{n_2},

    pero esto es absurdo ya que \pi_{n_2}(x),\pi_{n_2}(y)\in \pi_{n_2}(K)=K_{n_2}, \pi_{n_2}(x)\neq\pi_{n_2}(y), t\in(0,1) y z\in\mathrm{ext}(K_n). Este absurdo prueba la afirmación (i).

    Para terminar, veamos (ii). Sea x\in K. Si n\geq 1, entonces \pi_n(x)\in K_n y, como el semieje menor del elipsoide K_n es 2^{-n}, existe un punto y_n\in E_n\subset E tal que ||x-y_n||\leq 2^{-i}. Entonces la sucesión (y_n)_{1\leq n} toma valores en E y evidentemente converge a x. Luego x\in \overline E.

    La razón por la que \mathrm{ext}(K) es denso en este caso es que K es K es muy delgado en muchas direcciones… Uno puede agarrarse de eso para construir otros ejemplos.

  3. Grin Without a Cat said

    Un problema más fácil, para completar el original: un compacto convexo de \mathbb{R}^n no contenido en ningún subespacio afín de dimensión menor que n (para evitar trivialidades…) no es la clausura de su conjunto de puntos extremos.

  4. Grin Without a Cat said

    Buscando, encontré que mi ejemplo es well-known, y está descripto casi tal cual en Ebbe Thue Poulsen, Convex Sets with Dense Extreme Points, Amer. Math. Monthly, Vol. 66, No. 7 (1957), pp. 577-578.

  5. Grin Without a Cat said

    Preguntas que se me ocurrieron el el colectivo…

    ¿Es cierto que todo ejemplo es muy delgado?

    Más precisamente… Sea K un convexo compacto en \ell^2_{\mathbb R}. Sea B la bola unidad cerrada en \ell^2_{\mathbb R}, y definamos una función \phi_K:B\to\mathbb R poniendo \phi_K(b) = \max\{\langle b,x\rangle:x\in K\}- \min\{\langle b,x\rangle:x\in K\}, de manera que \phi_K(b) es el “ancho” de K en la dirección dada por b. Pongamos W(K)=\sup\{\phi_K(b):b\in B\} y
    w(K)=\inf\{\phi_K(b):b\in B\}. (¿Es \phi_K continua para la topología débil de B? Como en este caso esa topología coincide con la debil-*, en ese caso para definir a W(K) y a w(K) podríamos usar \max y \min, en vez de \sup y \inf…)

    ¿Qué se puede decir de W(K) y de w(K) para un convexo compacto arbitrario? ¿Hay algún cambio si K es la clausura del conjunto de sus puntos extremos?

    Más: llamemos excentricidad del compacto convexo K al cociente \epsilon(K)=w(K)/W(K) (Esto tiene sentido en cuando K no se reduce a un punto, ya que en ese caso W(K)>0). ¿Se puede decir algo de los convexos compactos que tienen \epsilon(K)=1? Cf. <http://en.wikipedia.org/wiki/Curve_of_constant_width>.

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