Formalidades

marzo 16, 2009

Sea G el conjunto de series formales de potencias

a_1 t+a_2 t^2 + a_3 t^3 + \cdots

con coeficientes complejos, término constante nulo y a_1\neq0.
Definamos una operación \mathord\circ:G\times G\to G de manera que si f= a_1 t+a_2 t^2 + a_3 t^3 + \cdots y g son dos elementos de G, entonces

f\circ g = \sum_{n\geq1} a_n g^n.

Es fácil ver que esta serie converge, así que esto tiene sentido. Por supuesto, esta operación es simplemente la composición formal.

  • Muestre que (G,\mathord\circ) es un grupo. ¿Es divisible?
  • Es subconjunto G_0\subset G de las series con radio de convergencia positivo es un subgrupo. ¿Es divisible? ¿Puede dar al menos condiciones para que un elemento de G_0 sea el cuadrado de otro elemento de G_0?

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