Mentiras, viles mentiras, y estadísticas

enero 6, 2009

Sean \{f_1 \ldots f_n \} funciones de un espacio de medida en \mathbb R_{>0} (no necesariamente medibles), que cumplen con lo siguiente: Para todo polinomio simétrico de n variables, P, vale que P(f_1, \ldots, f_n) es una función medible. Demostrar que entonces los estadísticos de órden de las funciones son medibles.

Nota: Los estadísticos de orden de una familia de funciones se calculan así: se evalúa las funciones en un punto y se las ordena de mayor a menor. El estadístico de primer órden es el menor de los valores; el de segundo órden es el segundo menor, etc.

PD: La condición de positividad venía junto con el problema que estaba resolviendo (de hecho, eran todas mayores que una constante mayor que 0, pero creo que no es necesario pedir tanto). Supongo que reformulando el problema, debería salir sin esa condición.

5 comentarios to “Mentiras, viles mentiras, y estadísticas”

  1. Grin Without a Cat said

    Hmm. No me sale si no son positivas…

  2. charlydif said

    Que problema estabas resolviendo?

    No entiendo muy bien donde es que se usa que son positivas, voy a ser bien chanta…

    Las funciones siemtricas de r_1,...,r_n son polinomios en las simetricas elementales a_{n-1}=r_1+...+r_n, a_{n-2}=r_1r_2+r_1r_3+...+r_{n-1}r_n,...,a_0=r_1...r_n. Entonces r_1,...,r_n no son otra cosa que las raices del polinomio

    x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 =0

    Como las raices de un polinomio son continuas en sus coeficientes entonces los estadisticos de orden son funciones continuas en las funciones medibles a_{n-1},...,a_0 es decir medibles.

    Es mentria lo de la continuidad de las raices?? no tengo una demostracion muy formal pero me parece bastante razonable…

  3. Grin Without a Cat said

    (Considerá la “variedad de incidencia”

    \Gamma=\{(a,z)\in\mathbb C^n\times\mathbb C:p_a(z)=0\},

    donde p_a=X^n+a_1 X^{n-1}+\cdots+a_n, y las restricciones \pi_1:\Gamma\to\mathbb C^n y \pi_2:\Gamma\to\mathbb C de las proyecciones \mathbb C^n\times\mathbb C\to\mathbb C^n y \mathbb C^n\times\mathbb C\to\mathbb C. Si U\subset\mathbb C^n es un abierto y \phi:U\to\Gamma es una sección de \pi_2, entonces la composición \pi_2\circ\phi da una función que da una raiz a cada polinomio de su dominio. Del teorema de la función implicita podés sacar condiciones para que \phi exista y sea análitica. Alrededor de los puntos donde la hipótesis del teorema no vale, que son los puntos del discriminante, la cosa es mas sutil…)

    Si bien es cierto—y elemental—que todo polinomio simétrico puede expresarse como polinómio en los polinomios simétricos elementales, no es tan evidente que lo mismo sea cierto para funciones simétricas arbitrarias, o de una clase particular, como las medibles… No sé si es cierto, aunque pide a gritos serlo.

    Para lidiar con el máximo, por ejemplo, uno puede usar las identidades de Newton para ver que \sqrt[k]{\sum_i r_i^k} es medible para cada k\in\mathbb N y tomar el límite puntualmente. Esto converge al máximo, si los r_is son no-negativos.

  4. charlydif said

    Ok, quizas me apresuro mucho al decir que es continua (de hecho en este momento todavia no decidi si lo es o no lo es) pero lo que es seguro es que es continua en los polinomios sin raices dobles asi que es continua salvo por un conjunto de medida cero asi que medible!

    Queda demostrado que cualquier funcion medible simetrica es una funcion medible en las simetricas elementales.

    PD: Creo que puedo demostrar que son borelianas aunque si cambio \mathbb{R} por \mathbb{C} no se si anda.

  5. Grin Without a Cat said

    Sobre los complejos no hay una “raíz continua” globalmente definida. Porque eso es lo mismo que una sección continua s:\mathbb C^n\to\Gamma, con \Gamma como antes, de la proyección \pi_1:\Gamma\to\mathbb C^n. Pero si S es el subconjunto de \mathbb C^n de los polinomios de la forma X^n-\alpha con \alpha\in\mathbb C de módulo 1, y \Sigma=\pi_1^{-1}(S), entonces la restricción de \pi_1:\Gamma\to\mathbb C^n a \Sigma es una función continua f:\Sigma\to S que es un cubrimiento de grado n, “isomorfo” a la aplicación z\in S^1\mapsto.z^n\in S^1. El problema viende de que la restricción s|_S:S\to\Sigma de la sección s de \pi_1 sería una sección de f, y no f no tiene secciones.

    (Este mismo argumento funciona para ver que no hay secciones sobre el abierto de polinomios con raices simples, ya que el conjunto S está contenido ahí. Por otro lado, evidentemente no funciona si considera solamente raices reales de polinomios reales—pero en ese caso claramente no raices globales en un sentido tan pedestre, porque hay polinomios que no tienen raices!)

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: