Compacidad*

enero 2, 2009

  • Sea A \subset \mathbb R^n con la siguiente propiedad: Si f: A \longrightarrow \mathbb R es continua, entonces alcanza un máximo en A. Demostrar que A es un conjunto compacto.
  • Si A es ahora un espacio métrico cualquiera, ¿sigue valiendo la afirmación anterior?
  • ¿Bajo qué hipótesis para un espacio topológico son equivalentes ambas condiciones?
  • Dar un contraejemplo de que la condición de arriba implica siempre compacidad.

2 comentarios to “Compacidad*”

  1. charlydif said

    Caso Metrico:

    Sea X un espacio con esa propiedad y x_1,...,x_n,... una sucesion. Si ésta no tiene ningun punto de acumulacion entonces existe una funcion continua f:X\rightarrow \mathbb{R} tal que f(x_n)=n para todo n, ¡Absurdo!

    Lo anterior vale porque si la sucesion no tiene ningun punto de acumulacion entonces es un cerrado entonces por Tietze vale extender las funciones.

    Para el caso general creo que anda con que valga Tietze.

    ¿Algun ejemplo de espacio con la propiedad y no compacto?

  2. julianhaddad said

    La propiedad esa se llama “pseudo compacidad”.

    Un espacio es
    “sigma-compacto” si es union numerable de compactos.
    “numerablemente compacto” si todo cubrimiento numerable siene un subcubrimiento finito
    “Lindelof” si todo cubrimiento tiene un subc numerable
    “secuencialmente compacto” si toda sucesion tiene una subsuc conv
    “debil compacto” si todo conjunto infinito tiene un punto límite

    PARA PENSAR: numerablemente compacto implica pseudo compacto

    Ninguna de estas propiedades es equivalente a las demás. Hay todo un grafo de implicaciones. Ademas:

    “localmente compacto” todo punto tiene un entorno compacto
    “fuertemente localmente compacto” todo punto tiene un entorno abierto de clausura compacta
    “sigma localmente compacto” si es sigma compacto y localmente compacto.

    TOPOLOGY CHALLENGE:
    buscar un espacio
    1)
    haussdorf, numerablemente compacto y localmente compacto
    que no sea
    secuencialmente compacto, lindeloff ni sigma-compacto.

    2) un X numerablemente compacto tal que X x X no lo sea.

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