Más sobre círculos y cuadrados

diciembre 24, 2008

Definamos la siguiente medida en el plano.

\sigma (E) =\inf \{  \sum _{i=1}^\infty | B_i | \: tq  \:E \subseteq \bigcup _{i=1}^\infty B_i \}

Donde el ínfimo se toma sobre todas las posibles formas de cubrir a E con numerables círculos B_i  y donde |B_i|  es la medida “usual” del círculo. (el área)

Es igual a la medida de Lebesgue pero cambiando cubos por bolas.

Quiero decidir si es igual a la de Lebesgue.

O equivalentemente

Decidir si \sigma(I)=1

con I=[0,1] \times [0,1]

O parecido (y esta es la que me interesa)

Estimar

\delta = \sup\{ \sum_{i=1} ^ \infty |B_i| \: tq \: I\supseteq  \bigcup_{i=1}^\infty B_i \}
Donde los B_i son círculos disjuntos y sin borde (abiertos).

MOTIVACIÓN::

Hace algún tiempo respondimos de varias formas una pregunta muy linda. Después respondimos  otra pregunta que andaba dando vueltas por ahí.

Si tuviéramos que \delta fuera menor que 1, conseguiríamos una prueba usando medida y eso estaría muy bueno.

5 comentarios to “Más sobre círculos y cuadrados”

  1. julianhaddad said

    Supongamos que tenemos 3 círculos tangentes por fuera, de radios r1, r2, r3. Si el máximo círculo que podemos meter en el medio es de radio r, vale esto
    r^2 r1^2 r2^2-2 r^2 r1^2 r2 r3-2 r^2 r1 r2^2 r3 - 2 r r1^2 r2^2 r3 + r^2   r1^2 r3^2 - 2 r^2 r1 r2 r3^2 - 2 r r1^2 r2 r3^2 + r^2 r2^2 r3^2 - 2 r r1r2^2 r3^2 + r1^2 r2^2 r3^2 = 0

  2. charlydif said

    Usando tu notacion, \delta=1 y de ahi que \sigma(I)=1 y que las medidas coinciden.

    Para ver que \delta=1 creo que se puede hacer asi.

    Paso 1: Empeza con el cuadrado y dibuja su circulo inscrito.

    Paso 2: A cada uno de las cuatro partes que quedan del cuadrado sin cubrir dividilas en cuadrados lo mas chiquito posible y en cada no de ellos volve al paso 1.

    Si iteras esto y cuadriculas suficientemente chiquito se puede ver que te acercas tanto como queres a 1.

    Basicamente en el paso n vas a poder conseguir cualquier cosa menor a 1-(1-{\pi \over 4})^n.

  3. Grin Without a Cat said

    ¿Qué significa “dividir en cuadrados lo más chiquitos posible”?

  4. charlydif said

    “lo mas chiquititos posible” fue una mala eleccion de palabras, seria mas correcto decir “suficientemente chiquitos”. El tema es que obviamente la region no se puede dividir en cuadrados ya que tiene bordes curvos sin embargo si se puede dividir en cuadraditos regiones tan parecidas como queramos a los pedazos que sobran.

  5. Anónimo said

    Buenísimo.
    Me convence porque la medida de la frontera del círculo es 0.
    Qué lástima!

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