Las consecuencias de la racionalidad

diciembre 20, 2008

Un triángulo con lados de longitud racional y ángulos que son múltiplos racionales de \pi es equilátero.

5 comentarios to “Las consecuencias de la racionalidad”

  1. charlydif said

    Si tiene lados racionales por el teorema del coseno se deduce que los cosenos de los angulos son racionales.

    Sea \alpha={m\pi\over n} uno de los angulos del triangulo y definamos P_n(x) como el polinomio tal que P_n(2cos x)=2cos nx.

    Es facil ver que P_0(x)=0,P_1(x)=x, y el resto se obtiene recursivamente por la formula

    P_{n+2}(x)=xP_{n+1}(x)-P_n(x)

    De donde se deduce que P_n(x) es un polinomio monico.

    Ahora P_n(2\alpha)=2cos m\pi=\pm 2 de donde, 2cos \alpha es entero. Asi que podemos concluir que cos \alpha=0,\pm {1\over 2},\pm1, o lo que es lo mismo \alpha=0,\pm {2\pi\over 3} , \pm {4\pi\over 3} ,\pm \pi.

    La unica posibilidad es que todos los angulos sean 2\pi\over 3.

  2. Martín Completa said

    Así suman 360°! Era pi/3 cada uno.

    Con mi papá demostramos estos días el hecho de que coseno de un ángulo racional (en grados, o sea, múltiplo racional de pi) es racional solo para 0, 60° y 90° en el primer cuadrante, por lo que este problema sale inmediatamente.

    La demostración que hicimos es larga como para escribirla acá, pero de todos modos el resultado existe y fue probado por Niven en 1956 o por ahí.

    Algo que es más actual y no me sale, es probar lo mismo para ángulos racionales en radianes, lo reduje algo (alcanza con probarlo para enteros gracias a que pi es irracional, y saqué un par de cosas más) pero ahí ya no sé qué hacer (o sea, probar que el coseno de un ángulo racional, pero racional medido en radianes, es irracional).

  3. charlydif said

    Mmm…. creo que si x es racional entonces la sucesion cos nx deberia ser densa en el (-1,1). Pero por otro lado, si cos x={p\over q} de las formulas de mi primer post se deduce que cos nx es racional para todo n y de denominador a lo sumo q, lo que seria absurdo!

  4. Martín Completa said

    Mmhh hay algo raro en tus fórmulas, con el P0(x), no es 0, sino 2 (el coseno de 0 es 1), igual creo que eso no afecta la primer demostración.

    Pero lo de “denominador a lo sumo q” no pasa, fijate que si el cos(x) = 1/3, cos(2x) = -7/9, el denominador crece, lo que pasa en la recurrencia de cos(nx) es que el denominador te va a ir dando potencias del denominador original, por la parte de “x.Pn+1(x)”.

  5. charlydif said

    Uh…. tenes razon!

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