Una de las muchas formas en que se expresa la eterna rivalidad que existe entre A y B

diciembre 15, 2008

A y B escriben cinco enteros con suma positiva sobre una circunferencia y, por turnos, cada uno de ellos hace lo siguiente:

Si por lo menos uno de los números es negativo, elije uno de ellos, se lo suma a los dos vecinos y le cambia el signo.

Si, en cambio, alguno se encuentra con que los 5 números son no-negativos, entonces no puede jugar y pierde.

¿El juego termina siempre? ¿A qué posiciones finales puede llegarse? ¿Cuántos turnos puede durar un partido? Si empieza A, ¿quién gana? Y si cambiamos la regla de forma que ahora el primero que no puede jugar gana, ¿quién gana? ¿El número cinco es especial?

game

En el dibujo se “ven” todos los juegos que empiezan con la posición {6, 5, -6, 2, -6}, que aparece a la izquierda. Todos terminan en {1, 0, 0, 0, 0}. Las flechas van todas hacia la derecha.

Una respuesta to “Una de las muchas formas en que se expresa la eterna rivalidad que existe entre A y B”

  1. charlydif said

    Creo que la siguiente construccion responde casi todas las preguntas (alguna variacion del problema estaba en alguna IMO).

    Supongamos que los numeros son a,b,c,d,e, una suma ciclica es algo de la pinta c+d+e+a+b+c+d+e+a. O sea vale empezar por cualquier letra y sumas la siguiente y la siguiente y la siguiente y paras cuando se te de la gana.

    Considera el conjunto de sumas ciclicas que lamentablemente es infinito, sin embargo no es dificil ver que tiene a lo sumo una cantidad finita de numeros negativos!!!

    La joda es que con cada cambio que hagas como los del juego el conjunto de sumas ciclicas casi que no cambia, lo unico que le pasa es que un numero negativo pasa a su opuesto.

    Asi que si los numeros son fijos siempre terminan en la misma cantidad de turnos.

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