Espejos

diciembre 11, 2008

¿Cuáles son las soluciones racionales de la ecuación

\cos2\pi x+\cos2\pi y+\cos2\pi z=-1

con x, y, z\in[0,\frac12]?

4 comentarios to “Espejos”

  1. charlydif said

    Bueno, quizas es mas facil pero esto es lo que pense (y ademas pueden estar hechas mal todas las cuentas):

    Sean x,y,z={p_1\over q_1},{p_2\over q_2},{p_3\over q_3}.

    Supongamos que q_1,q_2,q_3\geq 4.

    Si q\geq 3 el numero algebraico cos(2\pi {p\over q}) tiene grado {\phi(n)\over 2} y traza =\mu(n) (donde \mu es la funcion de Mobius).

    Dicho esto tenemos que

    cos(2\pi{p_1\over q_1})+cos(2\pi{p_2\over q_2})+cos(2\pi{p_3\over q_3})=-1.

    Tomando una extension grande de grado n que contenga a los tres cosenos y tomando trazas en la igualdad obtenemos que

    {2n\over \phi(q_1)} \times \mu(q_1)+{2n\over \phi(q_2)} \times \mu(q_2)+{2n\over \phi(q_3)} \times \mu(q_3)=-n

    O lo que es lo mismo

    {\mu (q_1)\over \phi(q_1)}+{\mu(q_2)\over \phi(q_2)}+{\mu(q_3)\over \phi(q_3)}=-{1\over 2}

    No es dificil encontrar todas las soluciones de la ecuacion anterior.
    Si x_n={\mu(n)\over \phi(n)} entonces la sucesion es

    1,-1,-{1\over 2},0,-{1\over 4},{1\over 2},-{1\over 6},0,0,{1\over 4},-{1\over 10},0,-{1\over 12},....

    Luego las unicas soluciones de

    {\mu(q_1)\over \phi(q_1)}+{\mu(q_2)\over \phi(q_2)}+{\mu(q_3)\over \phi(q_3)}=-{1\over 2}

    Con q_1,q_2,q_3\geq 4 son (5,5,q_3) y (7,7,7).

    En definitiva lo que demostre es que podemos suponer q_1=2 o q_1=3 o q_1=q_2=5 o q_1=q_2=q_3=7.

    El primer caso aporta las soluciones triviales y los dos ultimos es fuerza bruta verificar si hay o no hay soluciones. Queda ver que pasa en el caso q_1=3.

    Si q_1=3 la ecuacion se transforma en

    cos(2\pi {p_2\over q_2})+cos(2\pi{p_3\over q_3})=-{1\over 2}

    El argumento anterior nos dice que

    {\mu(q_2)\over \phi(q_2)}+{\mu(q_3)\over \phi(q_3)}=-{1\over 2}

    De donde las unicas posiblidades son (q_2,q_3)=(3,10)=(30,30) y q_2=5. Que otra vez es fuerza bruta verificar si esto da o no da soluciones.

    PD: Creo que hay que considerar por separado el caso q_1=6 pero ni ganas ahora.

  2. charlydif said

    Creo que lo de q_1=6 no hacia falta. Por cierto, ¿porque se llama espejos el post? ¿tiene algo que er con el problema de los espejos???

  3. Grin Without a Cat said

    «Espejos» viene a que estaba pensando en grupos generados por reflexiones, así que la conexión es más psicológica que otra cosa. La ecuación viene de un trabajo de Gordan en el que clasifica los grupos finitos de transformaciones homográficas de una variable (es decir, los subgrupos finitos de \mathrm{PGL}_2(\mathbb C))

  4. […] de los numeros en cuestion tienen traza cero. Otro ejemplo de esto de tomar traza se puede ver aca […]

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