Se busca subespacio

diciembre 2, 2008

Se busca un conjunto K \in \mathbb{R}^3 que contenga una curva cerrada f que no se pueda contraer a un punto (sin salirse de K) pero tal que exista n \geq 2 tal que f^n sí se pueda contraer a un punto. f^n denota a f recorrida n veces.

11 comentarios to “Se busca subespacio”

  1. quimey said

    A mi me sale en \mathbb{R}^4

  2. Grin Without a Cat said

    Un teorema de Whitney dice que una variedad diferenciable de dimensión n puede incrustarse en \mathbb R^{2n}. En particular, P^2_{\mathbb R} puede verse como un subconjunto de \mathbb R^4. Como \pi_1(P^2_{\mathbb R})=\mathbb Z/2\mathbb Z, ahí tiene uno un ejemplo en \mathbb R^4.

  3. julianhaddad said

    Hay un invariante que anda bien para variedades diferenciables que para curvas se porta bien en R^3. Es el Linking number.

    En este caso, mide la cantidad de vueltas con las que se anudan dos curvas. Uno mira clases de homotopías de pares de curvas que no se tocan.

    Sabemos del análisis complejo, que si una curva en un subespacio K del plano es no contráctil, existe un punto en el interior de la curva, menos K.

    Conjetura: si una curva en un subespacio K de R^3 es no contráctil, existe una curva en R^3 – K tal que el linking number no es 0.

    (obviamente va a ser falsa si K es suficientemente feo.)

  4. Grin Without a Cat said

    Recordemos como se calcula el linking number de dos nudos \gamma, \eta:S^1\to\mathbb R^3 disjuntos. El grupo H_1(\mathbb R^3-|\gamma|) es cíclico infinito. Elijamos un generador g (esto es lo mismo, en última instancia y una vez fijada una orientación para \mathbb R^3, que elegir una orientación para \gamma). Como los dos nudos son disjuntos, podemos ver a \eta como una función \eta:S^1\to\mathbb R^3-|\gamma|, que induce un morfismo \eta_*:H_1(S^1)\to H_1(\mathbb R^3-|\gamma|). El grupo H_1(S^1) también es cíclico infinito; sea t un generador (que corresponde, otra vez, a una orientación de \eta). Entonces existe n\in\mathbb Z tal que \eta_*(t)=n\cdot g. El número n es precisamente el linking number (con respecto a las orientaciones dadas; si uno no quiere elegir orientaciones, toma el valor absoluto de n)

    En la superficie \Sigma del dibujo, sea \alpha la curva roja, \beta la curva verde y \gamma la lila, orientadas como está indicado. Entonces—tomando como punto base x_0 al punto de intersección de \alpha y \beta—es claro que \gamma=\alpha\beta\alpha^{-1}\beta^{-1}. En \Sigma la curva \gamma no es contráctil, pero claramente su clase en H_1(\Sigma) es cero.

    Si ahora \eta es cualquier nudo totalmente contenido en \mathbb R^3\setminus\Sigma, la clase de la curva \gamma en H_1(\mathbb R^3\setminus|\eta|) es cero, porque es la imagen por el morfismo H_1(\Sigma)\to H^1(\mathbb R^3-|\eta|) inducido por la inclusión de la clase de \gamma en H_1(\Sigma), y esta última es nula. De acuerdo a la descripción hecha arriba del cálculo del linking number de dos nudos, vemos que entre \gamma y de \eta el linking number se anula.

    Luego \gamma tiene linking number nulo con cualquier nudo totalmente contenido en el complemento de \Sigma.

    El problema, claro, es que una curva puede no ser contráctil pero tener clase de homología nula en una superficie, y el linking number solo depende de la clase de homología.

  5. julianhaddad said

    OUCH!
    ok. Entonces definamos el Linking Number no abeliano… o digamos que dos curvas están “homotópicamente anudadas” si no hay una “homotopía de pares de curvas disjuntas” que lleven las 2 curvas a 2 puntos distintos.

    Entonces la conjetura correcta sería:

    Si una curva en un subespacio K de R^3 es no contráctil, existe una curva en R^3 – K tal que estas dos están homotópicamente anudadas

    Y después habría que arreglárselas, porque ya no tenemos un grupo. ufa

  6. Grin Without a Cat said

    ¿“Homotópicamente anudadas” viene a ser lo mismo que la clase de una en el grupo fundamental del complemento de la otra no sea trivial?

  7. marcossarini said

    Algo de eso estuve viendo por ahí. Un nudo es una inclusión de \mathbb{S}^1 en \mathbb{R}^3 (o algo así). Para definir el grupo del nudo, se lo infla un poquito hasta obtener un toro, se toma el complemento y se calcula el grupo fundamental. Por algún motivo, el complemento no se toma en \mathbb{R}^3 sino que se lo compactifica agregándole un punto para obtener \mathbb{S}^3. Ahora, una curva cerrada simple puede estar “atada” al nudo si no es contráctil en el complemento. Pero una curva simple no es lo mismo que otro nudo, porque a una curva cerrada le permitimos durante una homotopía atravesarse a sí misma, mientras que a un nudo no (aunque la definición que se usa de homotopía de nudos no es tan sencilla). Por lo tanto, se me ocurre que es posible que dos nudos estén “atados” y que sin embargo la curva cerrada que determina a cada uno de ellos sea nula en el grupo fundamental del otro nudo. En esta página: http://en.wikipedia.org/wiki/Whitehead_link se ven dos nudos (azul y amarillo) que están enganchados, pero la curva amarilla es nula en el grupo del complemento del nudo azul.

    PD: Cuando cliqueo el dibujo de Grin Without a Cat me da un error 404. Igual, el dibujo de Wikipedia sugiere una forma de hacer lo que decía Julián: Tomamos la curva azul en el subespacio K cuyo complemento es un tubo que contiene a la curva amarilla. No es contráctil. Y sin embargo, cualquier curva en el complemento de K es una potencia entera de la curva amarilla, que tiene linking number cero respecto la azul (y que de hecho es trivial en el complemento de la curva azul, si se la deja salir del tubo amarillo).

  8. Grin Without a Cat said

    Puse también el dibujo aquí. En un ratito debería funcionar.

  9. marcossarini said

    Qué dibujo bonito, ¿con qué lo hiciste?

    Tengo un ejemplo de dos curvas cerradas simples tales que cada una es homotópicamente nula en el complemento de la otra, pero (me imagino) no se pueden desenganchar si a cada una no le permitimos atravesarse a sí misma (como suele ocurrirle a los hilos, por ejemplo).

    No sé cómo expresarlo con palabras, pero es muy sencillo. Necesitaría hacer un dibujo…

    Listo, ya está: http://www.google.com/base/a/5084446/D3338211790181751589

    La forma en que se define que dos curvas cerradas simples están atadas es mediante isotopías de ambiente: http://mathworld.wolfram.com/AmbientIsotopy.html.

  10. Grin Without a Cat said

    Una forma de decirlo en palabras es que “duplicaste” cada una las componentes del link de Hopf

    El dibujo está hecho con Inkscape y algo de práctica😉

  11. Grin Without a Cat said

    Si no me equivoco, evaluando el polinomio de Kauffmann F(a,z) de ese link en a=1 y z=0 se ve que F(a,z)\neq 1, así que el link no es trivial. Esto funciona porque el link claramente se desata con solo intercambiar uno de los cruces del dibujo de Marcos.

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