Que hacía esta gente en nochebuena…

noviembre 10, 2008

Si non errasset, fecerat ille minus [De no haber errado, hubiera hecho menos]
Christian Goldach, refiriendose a un error suyo y parafraseando a Marcial, en una carta a Leonard Euler del 24 de diciembre de 1742. En esa carta, entre otras cosas, Goldbach habla de la bonita identidad \zeta(3,1)+\zeta(4)=\frac{\pi^4}{72}.

Cualquiera sea t\geq3 existe una cadena creciente de primos p_1<p_2<\cdots<p_t con p_1+p_2>p_t.

4 comentarios to “Que hacía esta gente en nochebuena…”

  1. Marlowe, PI said

    Creo que tengo una “solución”. Supongamos que no fuera el caso, es decir, que existe un n tal que entre p_1 y p_1 + p_2 hay a lo sumo n primo. A primera vista esto contradice violentamente el teorema del número primo…. Algo un poco menos violento sería lo siguiente.

    Como hay a lo sumo n primos entre p_1 y p_1 + p_2, hay a lo sumo n primos entre p_1 y 2p_1, llamémoslos p_i. Entonces \sum_i^n \frac{1}{p_i} < \frac{n}{p_1}.

    Repitiendo el argumento, vemos que la suma de los siguientes n primos es a lo sumo \frac{n}{2 p_1}, y así sucesivamente, se tiene que la suma de los recíprocos de los primos mayores que p_1 es menor o igual a \sum_i \frac{n}{2^i p_1} < \infty. Pero Euler demostró tiempo ha que la suma de los recíprocos de los primos diverge. Recuerdo vagamente haber visto algo por el estilo en complejo.

  2. Grin Without a Cat said

    Y ¿por qué las comillas?😉

  3. julianhaddad said

    porque dice “tiempo ha” y no “tempo atrás”

  4. Marlowe, PI said

    Porque empecé a escribir un argumento medio por arriba con el teorema de los números primos, y después me di cuenta que estaba lo de Euler, y seguí derecho😛.

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