Por supuesto

noviembre 4, 2008

Aparentemente, si  n\gg1 es

\mathrm{m.c.m.}\{1,2,3,\dots,n\}\sim\mathrm{e}^n

¿Por qué?

5 comentarios to “Por supuesto”

  1. mroberto said

    Dar el mcm de la lista de numeros 1, …, n equivale a dar el producto de los numeros que sean primos elevados (cada uno) a la maxima potencia en la que aparecen en la lista, digamos que estos son {2^m1, 3^m2, 5^m3, … pk^mk}.
    el producto de todos los {p1^m1, … pk^mk} (= el mcm), es menor o igual que el producto que queda despues de reemplazar a cada p_i^mi por n.
    El producto de los “n/log(n)” n’s es:
    n^(n/log(n)) = e^n.
    Esto dice que e^n es una cora superior asintoticamente.

  2. Marlowe, PI said

    Eso parece decir que es “muy común” que un número esté formado por un primo muy grande a una cierta potencia, y después primos chiquitos, así p^k \sim n. Raro.

  3. Grin Without a Cat said

    El Mathematica me dice que el cociente entre el mcm y la exponencial, para n = 1000000 es 2.894499963\cdot 10^{-180} y para n=10000000 (usando otro método más rápido pero que creo introduce más errores) es 4.687409218786\cdot 10^{-635}… ¿Quizás el \sim deba ser un \ll?

  4. quimey said

    En http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003418 hacen un comentario bastante acertado a mi parecer, que es en vez de postular mcm(1,..,n)/e^n \rightarrow 1 dice que esto es equivalente a ln(mcm)/n \rightarrow 1 Y de esta forma la evidencia numerica es mas facil de calcular.
    Hice un mini programita en c++ que me tiro la siguiente tabla:
    10
    0.783201
    100
    0.940453
    1000
    0.996681
    10000
    1.00134
    100000
    1.00052
    1000000
    0.999587
    10000000
    0.999854
    Es n seguido de ln(mcm)/n
    Igual no estoy teniendo cuidado con el error, pero parece dar bastante cerca.

  5. marcossarini said

    Creo que lo que propusieron implica el límite que comprobó Quimey, pero no viceversa. En la página de la secuencia A003418 dice que \log(mcm)/n \to 1 es equivalente a que mcm = e^{n(1+o(1))}, pero si o(1)=1/\log n, entonces mcm/e^n diverge. El límite que comprobó Quimey imlica que \sqrt[n]{mcm/e^n} \to 1.

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