Como hacíamos antes (Teorema de Borsuk-Ulam)

septiembre 19, 2008

¿Se acuerdan del teorema de Borsuk-Ulam? Ese que decía que si f:S^{n} \to \mathbb{R}^{n} es continua, entonces existe x \in S^{n} tal que f(x)=f(-x).

Bueno, aparentemente eso se prueba con homología. Pero buscando por ahí encontré lo siguiente:

“Tucker’s combinatorial lemma is concerned with certain labelings of the vertices of a triangulation of the n-ball. It can be used as a basis for the proof of antipodal-point theorems in the same way that Sperner’s lemma yields Brouwer’s theorem.”

Y también encontré el lema:

Sea T una triangulación de D^{n} antipodalmente simétrica en la frontera (tal que V \cap S^{n-1} = -V \cap S^{n-1}) con conjunto de vértices V(T), y sea \lambda:V(T) \to \{ \pm 1, \pm 2, \dots, \pm n \} una coloración antipodalmente simétrica en la frontera (tal que para v \in V \cap S^{n-1}, \lambda(-v) = -\lambda(v). Entonces en la triangulación hay un 1-simplex (segmento) complementario (cuyos extremos tienen colores opuestos).

El problema sería, por supuesto, probar el lema de Tucker y ver por qué implica Borsuk-Ulam.

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