Hablando de meter todo en una sola bolsa…

septiembre 10, 2008

1) Demostrar que todo grupo de n elementos es isomorfo a un subgrupo de \mathbb{S}_n (el grupo de permutaciones)

2)Demostrar que un algebra de dimension n sobre k es isomorfa a una subalgebra de M_n(k) (no estoy 100% seguro de que esto sea cierto)

3) Pensar en lo siguiente:

Por que para encontrar un grupo que contenga a todos los grupos de n elementos necesitamos uno de orden n! y para guardar todas las algebras de dimension n necesitamos una de dimension n^2 ? Existirá para grupos finitos un grupo que se corresponda con M_n(k) que nos permita enunciar algo similar a 2) pero con grupos?

8 comentarios to “Hablando de meter todo en una sola bolsa…”

  1. Grin Without a Cat said

    Lo que preguntás en (3) ¿es lo mismo que lo siguiente?: dado n ¿existe algún otro grupo—aparte de \mathbb S_n—que contenga como subgrupos, a menos de isomorfismo, a todos los grupos de orden n y que tenga cardinal a lo sumo n! (para evitar la respuesta tonta, \mathbb S_{n+1}…)?

  2. quimey said

    Exactamente eso. Notar que si n es primo hay un solo grupo así que la respuesta es trivial. Si n es potencia de primos Carlos dice que con Sylow quiza sale algo…

  3. Marlowe, PI said

    Un par de dudas… Primero, ¿se puede garantizar que un grupo tal sea único salvo iso? . Ponele que sí, y lo llamamos \mathbb T_n. ¿Tiene exponente n? Me parece que la respuesta debería ser sí, pero no lo termino de ver…

    UPDATE: Por ejercicios sencillos de la práctica de Sylow de álgebra 2, uno puede básicamente calcular a mano todos los posibles grupos de este tipo hasta orden 100 sin demasiado problema. Por ejemplo, si n= pq, con p < q primos, se puede ver que el cardinal del grupo es p^2q si p \mid q-1 y pq si no. Un grupo de orden p^2 se puede meter siempre en \mathbb Z_p \times \mathbb Z_{p^2}, de orden p^3. No encuetro ningún orden particular, especialmente porque esa condición de divisibilidad jode bastante…

  4. charlydif said

    Si tiene orden p^n entonces tiene que ser un subgrupo del grupo de Sylow de \mathbb{S}_{p^n} no? Que tiene orden mucho mas chico que p^n!.

  5. Grin Without a Cat said

    Para p=7 y n=3, el orden del 7-grupo de Sylow de \mathbb S_{7^3} es
    1481113296616977741464105532513750734030421355207, o 7^{57}. Pero hay solo 5 grupos de 7^3 elementos:

    \mathbb Z_{7^3}, \mathbb Z_{7^2}\times\mathbb Z_7, \mathbb Z_7\times\mathbb Z_7\times\mathbb Z_7, (\mathbb Z_7\times\mathbb Z_7)\rtimes\mathbb Z_7 y \mathbb Z_{7^2}\rtimes\mathbb Z_7

    y todos se meten en

    \mathbb Z_{7^3}\times((\mathbb Z_7\times\mathbb Z_7)\rtimes\mathbb Z_7)\times(\mathbb Z_{7^2}\rtimes\mathbb Z_7)

    que tiene orden 7^9. Así, Syl_7(\mathbb S_{7^3}) tiene claramente lugar de más!

  6. Marlowe, PI said

    Si no me equivoco, un razonamiento similar se aplica a todos los primos p, así que podemos cambiar 343 por p^3.

  7. Grin Without a Cat said

    Sep, eso es cierto para todo valor primo de 7 (teniendo en cuenta que el 57 depende del valor de 7: el orden del p-grupo de Sylow de \mathbb S_{p^3} es p^{p^2+p+1})

  8. quimey said

    Para hacer conjeturas empiricas esta bueno esto:
    (calcula la cantidad de clases de isomorfismo de grupos de un orden dado, miren cuantos hay de orden 1024)
    http://www.math.rwth-aachen.de/~Hans-Ulrich.Besche/number.html

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: