De más o de menos, o de ninguno de los dos

septiembre 6, 2008

Sea \Sigma=\{0,1,-1\} y sea \mathrm{sgn}:\mathbb R\to\Sigma la función signo de siempre. Sea n\in\mathbb N y sea \Sigma^n la potencia cartesiana n-ésima de \Sigma. Sea, finalmente, \mathrm{sgn}:\mathbb R^n\to\Sigma^n la extensión componente a componente de \mathrm{sgn}, de manera que si x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n, es \mathrm{sgn}(x)=(\mathrm{sgn}(x_1),\dots,\mathrm{sgn}(x_n)).

Si p,q\in\mathbb R^n, pienso a \mathrm{sgn}(p-q) como la posición relativa de p con respecto a q. Por ejemplo, cuando n=2, como \mathrm{sgn}\bigl((2,1)-(1,1)\bigr)=(1,0)\in\Sigma^2, la posición relativa de (2,1) con respecto a (1,1) es (1,0): entonces (1,0)\in\Sigma^2 es «arriba».

Sea ahora k\in\mathbb N y V=(\mathbb R^n)^k; considero a los elementos de V como k-uplas (p_1,\dots,p_k) de elementos de \mathbb R^n.

Si p=(p_1,\dots,p_k)\in V, defino una función \delta_p:\Sigma^n\to\mathbb N_0 poniendo, para cada s\in\Sigma^n,

\delta_p(s)=\#\{(i,j)\in [1,k]\times[1,k]:\mathrm{sgn}(p_i-p_j)=s\}

donde convenimos que {[1, k]} es el intervalo de enteros entre 1 y k.
Así, \delta_p(s) es la cantidad de pares (p_i,p_j) de elementos de \{p_1,\dots,p_k\} tales que la dirección relativa de p_i con respecto a p_j es s y, en este sentido, digo que \delta_p es la distribución de posiciones relativas de los k puntos de p.

Por ejemplo, para la configuración p de 5 puntos

es \delta_p(+1,-1)=7, \delta_p(1,1)=3, \delta_p(0,0)=5 y \delta_p(1,0)=0.

Notemos \Delta_n al conjunto de todas las funciones \Sigma^n\to\mathbb N_0. Si \delta\in\Delta_n es la distribución de posiciones relativas de una k-upla (p_1,\dots,p_k) de puntos de \mathbb R^n, digo que es k-admisible.

  1. ¿Qué elementos de \Delta_n son k-admisibles?
    Una condición necesaria evidente para que \delta\in\Delta_n sea admisible es que sea simétrica: tiene que ser \delta(s)=\delta(-s) donde {-}s denota el «opuesto» de s, que se obtiene cambiándole cada 1 por un {-}1 y vice versa.
  2. ¿Cuántos elementos de \Delta_n son k-admisibles?
  3. Si \delta\in\Delta_n es k-admisible, sea R_k(\delta)\subset (\mathbb R^n)^k el conjunto de las k-uplas de puntos de \mathbb R^n que tienen a \delta como distribución. ¿Qué se puede decir de R_k(\delta)? ¿Es conexo? ¿Sus componentes son convexas? ¿Qué dimensiones tienen las componentes? ¿Cómo están puestos los conjuntos R_k(\delta), cuando varía \delta, unos respecto de los otros en (\mathbb R^n)^k?
  4. Fijado n, ¿cuál es el máximo k tal que existe una k-upla p=(p_1,\dots,p_k) de puntos de \mathbb R^n tal que su distribución de posiciones relativas \delta_p satisface que \delta_p(s)\leq 3 para todo s\in\Sigma^n\setminus\{(0,\dots,0)\}?
  5. Sea \Delta_n(k) el subconjunto de \Delta_n de los elementos que son k-admisibles.
    Fijemos una enumerción \{s_1,\dots,s_{3^n}\} de los elementos de \Sigma^n. Entonces a cada elemento \delta\in\Delta_n(k) corresponde un vector v_\delta=(\delta(s_1),\dots,\delta(s_{3^n})). Sea P(n,k)=\{v_\delta:\delta\in\Delta_n(k)\}. ¿Cómo es el conjunto P(n,k)? Por ejemplo: ¿Es el conjunto de vértices de su cápsula convexa o hay puntos «interiores»?
  6. Et caetera.

(Problema sugerido por un post en sci.math.)

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