Puntos menores

agosto 27, 2008

Hence there can never be surprises in logic.
Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus. Proposición 6.1251.

Sabemos que una sucesión real monótona y acotada converge, y que no alcanza con que sólo sea monótona o que solo sea acotada para que eso suceda. Por otro lado, es cierto que

(p\wedge q\implies r)\implies\bigl((p\implies r)\vee(q\implies r)\bigr)

¿Porqué estas dos cosas no se contradicen?

7 comentarios to “Puntos menores”

  1. godelian said

    Aunque es falso que “si S es monótona entonces es convergente” y es también falso que “si S es acotada entonces es convergente”, ambas cosas no pueden ser falsas simultáneamente (tratándose, como en este caso, de una misma sucesión), porque por ejemplo la falsedad de la primera afirmación implicaría que S no es acotada, lo que automáticamente convierte en verdadera la segunda implicación al ser falso su antecedente (y viceversa). Esto garantiza la verdad del segundo miembro de la implicación lógica (al menos una de las implicaciones es verdadera) dada la verdad del primero, y todos felices🙂 Es interesante como el lenguaje opaca la verdadera sintaxis lógica y como uno tiene que recurrir a la raíz del problema para solucionarlo. Otro caso muy interesante es el ejemplo del problema de las dos puertas:

    Dos guardianes custodian un par de puertas A y B, sólo una de las cuales conduce a la libertad. Un prisionero tiene derecho a formular una sola pregunta, que sólo puede ser respondida por sí o por no, a uno solo de los guardianes. Además sabe que uno de los guardianes siempre miente y el otro siempre dice la verdad, aunque no sabe exactamente quién. ¿Puede el prisionero asegurarse la libertad?

    El análisis lógico nos dice que la situación equivale, para el prisionero, a preguntar por la validez de una proposición tal que la respuesta le indique la puerta correcta (en particular, que ambos guardianes den la misma respuesta). Como siempre pasa que un guardián miente y el otro no, ambos darán respuestas opuestas acerca del valor de verdad de la proposición, cualquiera sea ésta. Luego, tal pregunta no puede existir.

    Pero ahora el prisionero elige un guardián cualquiera y pregunta:

    “Si yo hubiera preguntado al otro guardián si la puerta correcta es la A, ¿me habría respondido que sí?”

    El guardián responde entonces que no, y ahora el prisionero se encamina hacia la puerta A, seguro de su libertad.

    ¿Porqué estas dos cosas no se contradicen?

  2. quimey said

    Queria agregar que lo que uno habitualmente interpreta sobre enunciados del tipo “…no alcanza con que(la sucesion) sólo sea monótona o que solo sea acotada para que eso suceda.” es \neg (p\vee q \implies r) que no es correcto

  3. julianhaddad said

    qué loco!

  4. Grin Without a Cat said

    Nótese que es cierto que
    (\forall x)(p(x)\wedge q(x)\implies r(x))
    implica que
    (\forall x)((p(x)\implies r(x))\vee(q(x)\implies r(x))),
    mientras que no es cierto que
    (\forall x)(p(x)\wedge q(x)\implies r(x))
    implique que
    \bigl((\forall x)(p(x)\implies r(x))\bigr)\vee\bigl((\forall x)(q(x)\implies r(x))\bigr)

  5. marcossarini said

    ¡Ah, sabía que andaba por ahí! Lo primero que pensé cuando vi el enunciado fue:

    “¡Oddddio que no pongan los cuantificadores!”

    De lo de las puertas, pienso que el problema es que no se puede formalizar (claro, siempre es el problema, ¿no?) porque no le podemos preguntar a un guardián acerca de la “otredad” del otro guardián (propiedad de ser el otro guardián). Imaginemos que g y f son los dos guardianes, que se pueden evaluar en cualquier pregunta p, y responden con Sí o No. Supongamos que g es el que dice la verdad y f el que miente. Entonces g(p)= Sí si la respuesta correcta a p es sí, y No si la respuesta es no, y f(p) responde No y Sí respectivamente.

    Ahora, cuando yo voy con mi proposición p al mostrador, el que me atiende le aplica la g o la f, y me da la respuesta. Yo no sé si me da g(p) o f(p).

    El primer intento es usar p=¿Tengo que entrar por la puerta A?.
    Naturalmente no me sirve, porque si el que atiende me dice Sí, yo sé que g(p) = Sí o f(p) = Sí, que no me dice nada.

    Entonces formulo q=¿Cuánto vale /la otra/ función si la evalúo en p?
    Esto me parece que no se puede formular bien. Porque para f la pregunta debería ser

    q1= ¿cuánto vale g(p)? y para g la pregunta debería ser q2= ¿cuánto vale f(p)?

    Entonces en realidad son preguntas formalmente distintas para los dos guardianes, si cabe decir “formalmente” en esta colección de oraciones.

    (Ni hablar de tratar de construir los guardianes que respondan preguntas acerca de lo que ellos responderían si les preguntaras…)

  6. Grin Without a Cat said

    Una forma de modelar el problema puede empezar así:

    Considero el lenguaje \mathcal{L} de las fórmulas que se arman a partir del símbolo E de acuerdo a la siguiente gramática, con alphabeto \{a, b, v, m, \pi, \wedge, \vee, \neg, (, ), ,\}

    \begin{array}{l}E \rightarrow a \mid \pi(G, E, E)\\E \rightarrow E\wedge E \mid E\vee E \mid \neg E\\G \rightarrow v \mid m\end{array}

    La interpretación que quiero de la fórmula a es «la puerta A es la buena». Por otro lado, la interpretación que quiero de las fórmulas de la forma \pi(G, E_1, E_2) es «asumiendo que la fórmula E_1 es verdadera, si le pregunto al guardia G por el valor de verdad de E_2, me responde “verdadero”». Finalmente, para E_1\wedge E_2, E_1\vee E_2 y \neg E quiero las interpretaciones usuales. Los símbolos v y m, que solo pueden aparecer en una fórmula como primer argumento de \pi, representan al guardia que dice la verdad y al guardia que miente. Uso a E_1\implies E_2 abreviatura de \neg E_1\vee E_2, y similarmente con \iff. También escribo 1 en vez de a\vee\neg a.

    Por ejemplo, \pi(v,a,\pi(m,1,a)) quiere tener el valor de verdad de “suponiendo que la puerta correcta es la A, cuando le pregunto al guardia que dice la verdad si el guardia que miente si A es la puerta correcta, me responde que si”.

    ¿Qué reglas de inferencia, aparte de las del cálculo proposicional, y qué axiomas necesitamos para razonar con este sistema de manera que refleje el problema de Carlos? Por ejemplo, uno podría tomas como axiomas

    \begin{array}{l}(E_1\implies E_2)\implies\pi(v,E_1,E_2)\wedge\neg\pi(v,E_1,\neg E_2)\\(E_1\implies E_2)\implies\neg\pi(m,E_1,E_2)\wedge\pi(m,E_1,\neg E_2)\end{array}

    que tratan de reflejar la interpretación de \pi que mencioné antes. ¿Qué reglas de inferencia necesitamos? Ni idea, la verdad… Pero deberían ser suficientes como para que pueda demostrar

    \neg\pi(v,1,\pi(m,1,a))\iff a \iff \pi(m,1,\pi(v,1,a)).

    a partir de los axiomas.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: