Heptágonos

agosto 12, 2008

Sea n\geq3. ¿Cuál es la menor cantidad de n-ágonos que se necesitan para construir una superficie (orientable) armada pegándolos de manera que la intersección entre dos de ellos sea o bien un lado común o bien un vértice común?

Por ejemplo, se necesitan al menos 4 triángulos para armar una superficie así, pegados en forma de tetraedro para formar una esfera:

o 6 cuadrados, dispuestos como las caras de un cubo para formar otra esfera:

o 12 pentágonos, esta vez imitando un dodecaedro para formar otra (!) esfera:

(Nótese que la simpatía de los dibujos no compensa el hecho de que no dicen como pegar los lados que aparentan estar «libres»)

¿Qué pasa con hexágonos o con los ya impensablemente famosos heptágonos

12 comentarios to “Heptágonos”

  1. julianhaddad said

    ¿cómo es bien la onda?
    ¿los n_ágonos tienen que ser regulares? ¿tienen que ser planos? (¿si pegamos 2 n_ágonos por el borde me queda una esfera?)

    Si no hace falta que sean regulares ni convexos ni todos iguales, conjeturo 12 para el heptágono y el 3 para el hexágono

  2. julianhaddad said

    perdón: 4 para el hexagono

  3. Grin Without a Cat said

    Los polígonos son flexibles y la construcción no tiene porqué ser en \mathbb{R}^3.

    El problema con tu dibujo es que dos cualesquiera de tus cuatro hexágonos se intersecan en dos lados. En ese sentido, el dibujo es un tetraedro😉

  4. Grin Without a Cat said

    Otro ejemplo de lo que no vale

    Supongamos que podemos pegar bien 5 cuadrados y dibujemos el grafo de adyacencias entre las caras, que tiene 5 vértices y es regular de grado 4. Hay exactamente un grafo con esas dos características: el completo en 5 vértices, K_5. Llamemos a, b, c, d y e a los vértices, que se corresponden con los 5 cuadrados.

    Supongamos que a la superficie le saco los (interiores de los) cuadrados d y e. Lo que queda es la unión de los cuadrados a, b y c, pegados de alguna forma. Como comparten dos a dos exactamente un lado, lo que nos quedó es o bien un cilindro o bien una banda de Möbius y, como estamos suponiendoque la superficie completa es orientable, la segunda posibilidad no puede ocurrir. Así, la superficie quenos quedó es la superficie P de un prisma triangular que le sacamos las tapas triangulares.

    Ahora bien, ¿cómo está pegado el cuadrado e en P? e comparte un lado con a, que está sobre uno de los dos bordes de P. Entonces los 4 lados de e tienen que estár pegados sobre ese mismo borde. Claro, esto es imposible.

    (Si no pedimos que la superficie entera sea orientable, entonces la parte formada por a, b y c puede ser una banda de Möbius. En ese caso, el borde (conexo!) de la banda está dividido en 6 segmentos; agarremos los cuadrados e y d y peguémoslos por un lado: lo que nos queda también tiene un borde conexo con 6 segmentos. Haciendo un par de dibujos uno se da cuenta de que se pueden pegar los dos bordes de estas dos partes de manera «correcta» y que lo que uno obtiene en ese caso es un plano proyectivo «bien» partido en 5 cuadrados.)

    Mirando la lista de regulares conexos conexos, uno no puede menos que preguntarse si es cierto, como dije antes, que para pentágonos la menor cantidad que se puede usar en 12 (ya que hay 64 grafos regulares conexos de grado con menos que 12 vértices, y si el dodecaedro es la única forma de ensamblar correctamente doce pentágonos, ya que hay otros 7847 grafos regulares conexos de grado 5!

    Uno necesita algún criterio para filtrar casos eficientemente…

  5. marcossarini said

    ¿Los cuadrados a, b, c, d, e, f no pueden doblarse de modo que un vértice del cuadrado toque otro vértice del mismo cuadrado, no?

    ¿Es cierto que la superficie termina siendo un toro con varios agujeros?

  6. Grin Without a Cat said

    No, no vale que un cuadrado tenga dos de sus vértices identificados.

    ¿Cuál superficie?🙂

    By the way, en mi argumento falta un caso: los cuadrados a, b y c podrían estar pegados de manera que tengan un vértice común (como tres caras incidentes en un vértice de un cubo). Pero ese caso es más fácil todavía.

  7. carla belen said

    estan pendejo0s po0r q no0 dejan lo0
    que
    queremo0s
    ver o0sea
    dibujo0s

    [lo apruebo solo porque creo que es el mejor comentario de la historia del mundo. MarlowePI]

  8. karla said

    no ma hagan uno con pestañitas xq no de ni donde van ya ni la chingan

  9. Anónimo said

    En ejemplo de heptagonos pegados es la superficie cuártica de Klein, q. v.

  10. Anónimo said

    estos heptagonos estan muy pero muy pichos

  11. mela lames said

    todo esta mal porque todos son unos pendejos

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