20/20

julio 31, 2008

Sea S un conjunto en el plano, con la siguiente propiedad: dados dos puntos en S, sea L la recta formada por los puntos equidistantes a ambos. Entonces cuando reflejamos S por L el conjunto queda quieto, es decir, L es una recta de simetría de S

a) caracterizar los posibles S

b) Averiguar cómo se llaman las rectas formadas por los puntos equidistantes a dos puntos dados.

Sugerido por Fede Carrá.

Una respuesta to “20/20”

  1. Grin Without a Cat said

    El grupo G de movimientos rígidos positivos del plano que preservan a S actua transitivamente sobre S: si S tiene solo dos puntos esto es evidente y, sino, dados Q, R y T puntos distintos de S, el movimientos que resulta de componer las reflexiones en las rectas bisectrices de QT y TR, respectivamente, lleva a Q sobre R y es positivo.

    Supongamos que S es compacto. Si S está contenido en una recta, es fácil ver que S tiene a lo sumo 2 puntos. Supongamos entonces S no está contenido en una recta. En ese caso hay rectas de simetría no paralelas y como S es acotado, todas las rectas de simetría pasan por un punto P. Sean Q y R puntos de S. Como la altura del triángulo PQR con respecto al lado QR pasa por P, ese triángulo es isóceles y PQ=PR. Así, vemos que S está contenido en una circunferencia C centrada en P.

    Ahora, si S tiene un punto que no es aislado, entonces tiene rectas de simetría que forman ángulos arbitrariamente pequeños. Esto implica que hay en G rotaciones de ángulos arbitrariamente pequeños, así que S es denso en C. Como además es cerrado, en este caso es S=C. Si, en cambio, S es discreto y tiene al menos tres puntos, el grupo G debe es finito, así que es cíclico y, entonces, como la acción de G es transitiva, S es el conjunto de vértices de un polígono regular.

    Supongamos ahora que S es cerrado y no acotado—en particular, que es infinito.

    Supongamos que S está contenido en una recta r. Si posee puntos no aislados, G contiene translaciones arbitrariamente pequeñas en la dirección de r y, como S es cerrado, debe ser S=r. Si S es discreto, el subgrupo T de G de las translaciones en la dirección de r es discreto y actua transitivamente sobre S. Entonces es cíclico y S es un \infty-gono regular (es decir, es semejante a \mathbb{Z})

    Supongamos ahora que S no está contenido en una recta. Si S contiene una circunferencia o una recta, entonces S es todo el plano (porque en ese caso es fácil ver que contiene un abierto y que G contiene todas las translaciones). Consideremos entonces el caso en que S no contiene ni circunferencias ni rectas.

    Supongamos que S contiene un \infty-gono regular I, y sea T' el grupo de las translaciones de G que preservan a I. Este grupo es cíclico; sea \tau un generador. Sea P un punto de I. Como S no está contenido en una recta, hay un punto Q en S que no está sobre la recta que contiene a I. Sea X el punto medio del segmento PQ. Considerando las reflexiones en las bisectrices de los segmentos determinados por \tau^i(P) y \tau^{-i}(Q) para cada i\in\mathbb{Z}, vemos que hay en G rotaciones con centro en X de ángulos arbitrariamente pequeños. En particular, la intersección de S con la circunferencia centrada en X que pasa por P es densa en esa circunferencia. Como S es cerrado, vemos que S contiene una circunferencia. Esto es imposible.

    Así, S no contiene \infty-gonos regulares, así que, en consecuencia, no hay tres puntos alineados en S. Entonces no hay translaciones en G. Como el conmutador de dos rotaciones es una translación, vemos que G es abeliano. Como dos rotaciones conmutan sii tienen el mismo centro, vemos que existe un punto P en el plano tal que todos los elementos de G son rotaciones con centro P. Es fácil ver que esto implica que S es acotado, lo que es imposible.

    Concluimos que si S es cerrado, S es o todo el plano, o una circunferencia, o una recta, o un \infty-gono regular, o el conjunto de vértices de un n-gono regular con n\geq2 o un conjunto con a lo sumo dos puntos. Salvo error u omisión, claro.

    Hay ejemplos no cerrados: el conjunto de puntos del plano con coordenadas en la base canónica pertenecientes a un subcuerpo de \mathbb{R} y variaciones…

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