Topología Naturista

junio 23, 2008

Un sábado entre la 1 y las 3 am, Fede Carrá me tiró este problema:

Todo espacio vectorial tiene una topología natural. Es la generada por todos los conjuntos convexos y absorbentes. *

1) Notar que estos bichos forman una base.

2) Observar que si el espacio es de dimensión finita, da la topología usual.

3) Probar que esta topología es más fina que la inducida por cualquier norma.

4) Decidir si esta topología es normable.

5) Decidir si es la topología final respecto de las inclusiones de los subespacios de dimensión finita.

* Decimos que A es absorbente si para todo elemento x en el espacio, existe un r_0 talque r.x \in A \forall 0< r < r_0.

6 comentarios to “Topología Naturista”

  1. Grin Without a Cat said

    Las negritas me motivan! (pero, sin embargo, insulto al tipógrafo del Clarín cada vez que lo leo… )

    Supongamos que V es un espacio de Banach (complejo) de dimensión infinita. Sea B=\{x_i\}_{i\in I} una base de Hamel, normalizada de manera que \Vert x_i\Vert=1 para todo i\in I. Sea \phi:\mathbb{N}\to I una función inyectiva y sea f:V\to\mathbb{C} la única aplicación lineal tal que f(x_{\phi(n)})=n si n\in\mathbb{N} y f(x_i)=0 si i\in I\setminus\phi(\mathbb{N}). Es claro que f no es acotada, así que no es continua. Luego V'\subsetneq V^*: hay funcionales lineales que no son continuos.

    Por otro lado, si V es un espacio vectorial de dimensión infinita, entonces todo funcional lineal sobre V es continuo con respecto a su topología naturista.

  2. Grin Without a Cat said

    Otra vez, una pregunta sugerida por la práctica de Complementos para físicos…

    La topología naturista sobre V es la menor topología que hace continuas a todas las funciones lineales V\to W con W un espacio vectorial topológico localmente convexo. En otras palabras, es la topología inicial para esa clase de morfismos (esa clase es una clase propia—es decir, no es un conjunto—pero es fácil ver que hay un conjunto que define la misma topología inicial)

    Cuando uno se da cuenta de eso, se hace aparente que podemos describir otras topologías naturales. Sea \mathcal{C} una clase de espacios vectoriales topológicos. Si V es un espacio vectorial, sea \tau_{\mathcal C}(V) la topología inicial para la familia de todos las aplicaciones lineales V\to W con W\in\mathcal{C}—podríamos llamar a \tau_{\mathcal{C}}(V) la topología \mathcal{C}-naturista. (Para poder construir sin culpas a \tau_{\mathcal{C}}(V) usando la construcción usual, uno tiene que verificar que para cada V fijo es posible quedarse con un subconjunto \mathcal{C}' de \mathcal{C} tal que la topología inicial determinada por \mathcal{C}' coincida con la determinada por \mathcal{C}… )

    Por ejemplo, si \mathcal{C}=\mathcal{LCS} es la clase de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología \mathcal{LCS}-naturista es precisamente la topología de Fede.

    Para cada \mathcal{C} uno puede preguntarse cosas parecidas a las que pregunta Julián, claro. Por ejemplo, si \mathcal{C}=\mathcal{H} es la clase de los espacios de (pre?)-Hilbert, la topología \mathcal{H}-naturista es (pre?)-Hilbertiana?

    También uno puede preguntar: ¿hay más topologías naturales que éstas, las \mathcal{C}-naturistas?

    Una forma de formalizar eso es: para cada clase \mathcal{C} com arriba, lo que hicimos es construir un functor F_\mathcal{C}:\mathbf{Vect}\to\mathbf{TopVect}, de la categoría de espacios vectoriales a la de los espacios vectoriales topológicos, con la propiedad de que su composición con el functor de olvido \mathbf{TopVect}\to\mathbf{Vect} es la identidad. Entonces la pregunta es: ¿todo functor con esa propiedad es de la forma F_{\mathcal{C}} para una clase \mathcal{C} apropiada?

  3. Anónimo said

    ¿cómo estás seguro de que es la topo inicial?

  4. Grin Without a Cat said

    Buena pregunta: mi «en otras palabras» no fue muy bien elegido…

    Sea V un espacio vectorial, sea \tau_{\mathrm{Fede}} la topología de Federico sobre V y sea \tau_{\mathcal{LCS}} la topología \mathcal{LCS}-naturista sobre V definida como arriba.

    Como (V,\tau_{\mathrm{Fede}}) es un espacio vectorial topológico localmente convexo, es decir, un elemento de \mathcal{LCS}, la aplicacion f:(V,\tau_{\mathcal{LCS}})\to(V,\tau_{\mathrm{Fede}}) que a nivel de conjuntos es simplemente Id_V, es continua porque \tau_{\mathcal{LCS}} hace continuas todas las funciones lineales a espacios localmente convexos.

    Por otro lado, la aplicación g:(V,\tau_{\mathrm{Fede}})\to(V,\tau_{\mathcal{LCS}}), otra vez dada a nivel de conjuntos por Id_V, es continua: para verlo basta, usando la propiedad universal de la topología inicial, mostrar que para cada aplicación lineal h:V\to W con W un espacio vectorial topológico localmente convexo, la aplicación h\circ g es continua. Esto es inmediato.

    Ahora bien, la continuidad de f y de g es equivalente a la igualdad \tau_{\mathrm{Fede}}=\tau_{\mathcal{LCS}}.

  5. manuco said

    hola julian…

    mirá donde te vengo a encontrar…

    disculpá que no se usar latex acá… pero un comentario…

    en dimension finita, es lo mismo dar una norma que un compacto convexo simétrico alrededor el origen.

    {estoy pensando como pegar eso con los convexos absorbentes en un ev cualquiera…}

    en rn la convexidad la usas para que valga la desigualdad triangular, la simetría para que -v y v tengan la misma norma… y la compacidad para que el unico bicho de norma cero sea el cero…

    en dimensión infinita, me parece que la cuestion no es normable, a menos que se pida algun tipo de condicion sobre los absorbentes convexos… i.e. compacidad. (o algo asi como que esa topologia sea “compactamente generada”)

    sanata.

    que te parece?

    salut
    m.

    pd: aprobé real😛

  6. pv said

    En un TVS se puede dar una definición de conjunto acotado que sirve para responder a las negritas:
    Un conjunto B \subseteq V se dice acotado si para todo abierto U tal que 0 \in U se tiene que \exists\epsilon>0 tal que \epsilon B\subseteq U
    Una condicion equivalente a que la topología que da un LCS sea normable es que exista en ella un abierto acotado no vacío.
    Esto se puede encontrar todo en el capítulo IV de la segunda edición del curso de análisis funcional de J. B. Conway, incluyendo también una equivalencia para la metrizabilidad de la topología.
    Mis disculpas si el latex no se ve bien… No hay preview!!!

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