La conmutatividad de la suma

junio 23, 2008

Offbar kann man nun die Reihe durch geeignete Anordnung der Glieder einer beliebig gegebenen Werth C erhalten.

B. Riemann, en «Sobre la posibilidad de representar una función por una serie trigonómetríca.»

Riemann observa que si en una serie de términos reales diverge o la subserie de términos positivos o la de términos negativos, entonces uno puede reordenar los términos de la serie original de manera que la serie reordenada sea convergente y converja a un valor arbitrario real.

¿Qué pasa si la serie es de términos complejos?

Una serie en un espacio de Banach es incondicionalmente convergente si todas sus reordenaciones convergen, y es absolutamente convergente si la serie de las normas de sus términos es convergente. Si la serie es en \mathbb{R}, ambas nociones son equivalentes.

¿Qué pasa en \mathbb{R}^n? ¿Y en un espacio de Banach de dimensión infinita?

Un teorema bonito:

Teorema: En todo espacio de Banach de dimensión infinita existe una serie convergente tales que sus rearreglos convergentes convergen a uno de exactamente dos valores.

En unos días va aparecen en la biblioteca Leloir el libro [Diestel, Joe; Jarchow, Hans; Tonge, Andrew. Absolutely summing operators. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 43. Cambridge University Press, Cambridge, 1995. xvi+474 pp] que se ocupa de estas cosas…

3 comentarios to “La conmutatividad de la suma”

  1. julianhaddad said

    ¿los dos valores esos puedo elegirlos como me plazca?
    Supongo que sí, componiendo con una lineal

  2. charlydif said

    Uh…buenisimo que lo hayan comprado…. ese libro esta buenisimo, de hecho esta lo de el problema de Marcos de acomodar los vectores.

    Por cierto, hay un post anterior con algo al respecto pero no recuerdo como se llamaba.
    Creo que habiamos probado que en \mathbb{R}^n andaba, no era muy dificil a partir del problema de Marcos. Sin emabrgo no recuero que tan buenas eran las cotas que teniamos para “el problema de Marcos”…. creo que eran malas.

  3. julianhaddad said

    Efectivamente, el problema de Marcos se llama
    acomodando vectores

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