Desarreglos

junio 16, 2008

Una pregunta que tengo en la cabeza desde hace un tiempito (motivada por un ejercicio de la práctica de Complementos ara Físicos):

Un desarreglo es una permutación \sigma\in S_n que no deja ningun elemento de \{1,\dots,n\} fijo. No es difícil mostrar que si D_n\subset S_n es el conjunto de desarreglos, entonces

\frac{|D_n|}{|S_n|} = 1-\frac1{1!}+\frac1{2!}-\frac1{3!}+\cdots+(-1)^n\frac1{n!}.

Por otro lado, evaluando el determinante

\left|  \begin{array}{cccccc}    0 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\    1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\    1 & 1 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\    1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 1 \\    1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0  \end{array}  \right|

de dos maneras distintas, uno puede ver que la cantidad de desarreglos pares e impares son, respectivamente,

|D_n^+| = \tfrac12\bigl(|D_n|-(-1)^n(n-1)\bigr)

y

|D_n^-| = \tfrac12\bigl(|D_n|+(-1)^n(n-1))\bigr).

Ahora bien… Si F es un cuerpo con q<\infty elementos, V es un F‍-‍espacio vectorial de dimensión n y D(V)\subset GL(V) es el conjunto de automorfismos de V que no tienen a 1 como autovalor, entonces

\frac{|D(V)|}{|GL(V)|} = 1-\frac1{(1)_q!}+\frac1{(2)_q!}-\frac1{(3)_q!}+\cdots+(-1)^{n}\frac1{(n)_q!},

donde (k)_q! = (n)_q(n-1)_q\cdots(1)_q y (k)_q=\frac{1-q^k}{1-q}. Notar la bonita analogía con la fórmula anterior para |D_n|/|S_n|

¿A alguien se le ocurre una definición conveniente y natural de «elementos pares» D^+(V)\subset D(V) y de «elementos impares» D^-(V)\subset D(V) de manera que haya fórmulas similares a las dadas arriba para D^+_n y D^-_n? Hay puntos extra si la demostración de esas fórmulas es también similar a la indicada arriba!

(Hay más detalles (y pruebas) en estas notas)

EDIT: Como Pablo observó diligentemente, ambas fórmulas estaban mal escritas…

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