Te cambio un espacio topologico por un anillo …

junio 4, 2008

Quería dejar planteado aca un problema que estuve pensando estos dias. No es muy elemental pero me pareció lindo. Quiza en algún momento escriba mi solucion.

Definiciones:

Dado X un espacio topologico T2 y compacto (o un esp. metrico compacto o [0,1]) definimos C(X) como el conjunto de las funciones continuas de X en \mathbb{R} (Podriamos tomar X un esp. top. T3 1/2 y pedirle a las funciones que sean acotadas o que tengan soporte compacto). Resulta que C(X) tiene una estructura natural de \mathbb{R} algebra (con las operaciones punto a punto)

Lo que se puede ver es:

1) Si X,Y son compactos T2 y \phi :X \rightarrow  Y es una funcion continua \Rightarrow \phi^* :C(Y) \rightarrow C(X) definido por \phi^* (f)=f \circ \phi es un morfismo de algebras

2) Si \psi :C(Y) \rightarrow C(X) es morfismo de algebras \Rightarrow \exists \phi:X \rightarrow Y continua tal que \psi = \phi^*

3) Observar que (C(X),\| - \|_{\infty}) es un espacio de Banach y que \phi^* es continua

4) Sea C(X)’ el conjunto de funciones continuas y lineales de C(X) en \mathbb{R} . Tenemos una funcion ev: X \rightarrow C(X)' definida por ev(x)(f)=f(x). Darle una topología a C(X)’ para que la evaluacion resulte un homeo con su imagen (notar que ev es inyectiva)

5) Describir adecuadamente Im(ev)

Moraleja:

Cambiamos un espacio topologico (X) por un anillo normado (C(X)) sin perder informacion.

6 comentarios to “Te cambio un espacio topologico por un anillo …”

  1. Grin Without a Cat said

    Y podés cambiar álgebras de Banach por espacios?

  2. julianhaddad said

    ¿podés decir si X es conexo, simplemente conexo, T_{algo}, contráctil, etc… mirando el anillo?

    ¿podés decir si el anillo es conexo, semisimple, regular, etc… mirando el espacio topológico?

  3. Marlowe, PI said

    Comentario boludo: ver que el anillo es conexo sii el espacio es conexo es bastante fácil. Quimey conejturó, y creo que tengo leve evidencia, de una relación entre la simpleconexión de X y la semisimplicidad del anillo.

  4. Grin Without a Cat said

    [Escrito en un pais donde los teclados no tienen acentos ni demas lindezas tipograficas espanholas….] Que queres decir con que un anillo sea conexo?

    Por otro lado: si x es un punto de X y m_x es elideal maximal correspodiente, entonces S_x=C(X)/m_x es un C(X)-modulo simple. Ademas, S_x\cong S_y sii x=y. Estonces, si X es infinito hay infinitas clases de isomorfismo de modulos simples…

  5. quimey said

    Nuestra definicion de anillo conexo es que no se puede escribir como producto de dos anillos. o lo que es equivalente que los unicos idempotentes centrales sean el 0 y el 1 y con esta ultima definicion es con la que se ve esta equivalencia

  6. quimey said

    Demostracion falsa:
    X=\{1,..,n\} con la topologia discreta es un compacto T2 y C(X) es isomorfo a \mathbb{R}^n como algebras La transposicion (T) entre i y j es un homeo entre X y X e induce un automorfismo de C(X). Ademas T(m_i)=m_j Con lo cual tenemos un isomorfismo de algebras entre S_i y S_j Pero por supuesto no es un isomorfismo de C(X) modulos y ahi esta el error

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