A smooth criminal function

mayo 12, 2008

Tenemos una función f: \mathbb R^n \to \mathbb R^m, que cumple lo siguiente:

Para toda curva \sigma : [-1,1] \to \mathbb R^n, \mathcal C^\infty tal que \sigma(0) = p, se tiene que \displaystyle \lim_{t \to 0} f \circ \sigma (t) = L.

¿Es cierto entonces que \displaystyle \lim_{x \to p} f(x) = L?

Lo de siempre: si sí, quiero una demostración, y si no, dar un contraejemplo.

¡Gracias a El Sir por la pregunta!

3 comentarios to “A smooth criminal function”

  1. julianhaddad said

    A ver…
    Ponele que \displaystyle \lim_{x \to p} f(x) \neq L entonces \exists \{x_n\}_{n\in \mathbb N} , \epsilon > 0
    talque x_n \rightarrow 0 y |x_n - L| \geq \epsilon
    sea g:[0,1] \longrightarrow \mathbb R, C^\infty talque
    g^{(m)}(0)=g^{(m)}(1)=0 \forall m \in \mathbb N
    defino h:[-1,1] \longrightarrow \mathbb R como
    h(-\frac 1 n + t.(-\frac 1 {n+1} + \frac 1 n  ) ) = x_n+g(t). (x_{n+1} - x_n)
    para t\in[0,1] y n\in \mathbb N
    Sé que es continua… mañana les digo si es C^\infty

  2. Marlowe:PI said

    Está perfecto… de cualquier forma, mi idea era la siguiente (muy parecida). Tomás una función g: \mathbb R \to \mathbb R que sea constantemente 0 antes del 0, constantemente 1 después del 1, y C^\infty. Eso se puede hacer, por ejemplo, tomando una campana C^\infty de soporte I = [0,1] en L^1. Una primitiva (normalizada) cumple lo pedido, y es obviamente C^\infty.

    Reparametrizando y pegando, te podés construir una función h: [0,1] \to [0,1] que tenga derivada cero en todos los puntos de la forma 1- \frac{1}{2^k}. La función sigue siendo C^\infty, porque es composición de dos infinitamente diferenciables.

    Parametrizás la poligonal por rectas, digamos con \sigma, asegurándote de que cada vértice caiga en un punto de la forma 1 - \frac{1}{2^k}. Entonces \sigma \circ h es una parametrización C^\infty de la poligonal.

  3. julianhaddad said

    ok… faltaría aclarar que como x_n es de cauchy, entonces el máximo de la derivada m_ésima en el segmento n, tiende a 0 con n, luego todas las derivadas de h tienden a 0, y la definimos como constememte 0 en los positivos

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