Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.

mayo 11, 2008

Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.

Dado un conjunto P de n puntos del plano, sea f\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R} una función tal que para cualquier isometría T del plano vale

\displaystyle \sum_{x \in T(P)} f(x) = 0.

Entonces f es constantemente nula.

Para n=1 es trivial, para n=2 casi, para n=3 sale, para n=4 creo que sale con bastantes vueltas, y después no sé, pero no quiero estar por el caso n=23 para cuando me muera.

4 comentarios to “Tiro un problema que me viene molestando hace más de una década.”

  1. charlydif said

    Un comentario que siempre me parecio interesante (y un poco gracioso). Quizas al final no tenga mucho sentido, pero al menos para pensarlo esta bueno:

    Yo te demuestro que el problema, de ser cierto, se resuelve con un dibujito. Fijate que lo que tenes es un sistema homogeneo de ecuaciones eneas lineales gigante (de coeficientes racionales (de hecho enteros)). Las variables son los puntos del plano y las ecuaciones cada condicion que te da cada lugar a donde va a parar P por cada isometria T del plano.

    Si el problema es cierto, entonces el subespacio generado por las ecuaciones contiene a la ecuacion x_p=0 para todo punto p. Pero eso quiere decir que hay alguna forma de combinar los poligonos de forma que sea obvio que el valor en cada punto debe ser =0.

    Por ejemplo, en el caso n=2, formate un triangulo equilatero p,q,r. Y Considera 2f(p)+f(q)+f(r). Por un lado la suma es cero pero por el otro es 2f(p).

    Volviendo a las cosas en serio….. ¿de donde conoces el problema? Yo vi unas cuantas variantes distintas en varias olimpiadas o shortlist o cosas similares (con desigualdades tambien).

    En algun momento habia demostrado algo para una medida pero ya no recuerdo ni siquiera el enunciado. Pero lo que siempre quise pensar es lo siguiente (no se si es cierto)

    Dado una medida signada \mu en \mathbb{R}^2 y una familia de medibles M_i tal que \mu (M_i)\geq 0 para todo i, ¿que hay que pedirle a la familia M_i para poder concluir que \mu es positiva?

    Bue…. habia muchas mas preguntas similares, como si los M_i median cero cuando podes concluir que la medida es nula o al reves…. si para toda medida \mu que verifique ciertas condiciones en los M_i impliquen algo sobre M ¿que se puede decir de M? (union o suma de minkowski de algunos M_i)

  2. Grin Without a Cat said

    Este problema está muy cerca de un problema famoso del análisis armónico, el problema de Pompeiu, que pregunta para qué compactos (con interior no vacío, digamos) K es cierto que la única función continua f que tiene integral nula sobre cada imagen de K por un movimiento rígido del plano es la función nula.

    Sea C es el espacio de las funciones continuas en \mathbb{R}^2 con la topología de la convergencia uniforme sobre compactos. Sea M el espacio dual (topológico!) de C, que se identifica con el espacio de las medidas de Borel sobre \mathbb{R}^2 de soporte compacto. Sea P\subset\mathbb{R}^2 un conjunto finito y para cada g en el grupo G de movimientos rígidos del plano, sea \mu_g\in M la medida tal que \mu_g(f) es la suma de los valores de f en los puntos de g(P). El espacio de las funciones (continuas) que satisfacen la condición de Julián es precisamente V = \bigcap_{g\in G}\mathrm{ker}\mu_g. Esta descripción have evidente que V es un subespacio cerrado de C. Además es invariante por movimientos de G.

    Ahora bien, hay un teorema (que podemos buscar… ) que dice que todo subespacio cerrado de C invariante por movimientos de G y no nulo contiene funciones de la forma f(x)e^{izx} con f un polinomio, z\in\mathbb{C}^2 y zx el `producto escalar’ de z y x (es más, si no recuerdo mal todo tal espacio está generado por las funciones de esa forma que contiene)

    ¿Hay alguna función de esa forma que satisfaga la condición de Julián?

  3. charlydif said

    El teorema que citas es de Beurling o algo por el estilo??? Se que hay uno que caracteriza los subespacios invariantes del shift pero no se si es el mismo y nunca vi una demostracion.

  4. Grin Without a Cat said

    El teorema es de Brown+Schreiber+Taylor (Spectral synthesis and the Pompeiu problem. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 23 (1973), no. 3, 125-154; Theorem 3.4) (y efectivamente dice que el subespacio está generado por las funciones de esa forma) El artículo está disponible en http://www.numdam.org/ y es una verdadera obra de arte matemático (y un buen ejemplo de tecnología abstracta aplicada a un problema concreto). La artillería pesada es de Laurent Schwartz
    (Théorie générale des fonctions moyenne-périodiques. Ann. of Math. (2) 48, (1947). 857–929), el muchacho de las distribuciones, que hizo antes el caso de los subespacios invariantes por translaciones en C(\mathbb{R}).

    (Tengo los dos artículos, en caso de que alguien los quiera)

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