Campos

mayo 3, 2008

Se tiene un campo f: \mathbb R ^n \longrightarrow \mathbb R ^n continuo y localmente Lipschitz

Tenemos una ecuación diferencial ordinaria asociada x' = f \circ x
sea \Theta _t (p) la solución cuyo valor inicial es p
o sea,
\frac{\partial}{\partial t}\Theta _t (p) = f(\Theta _t (p)) y \Theta _0 (p) = p

Sea A \subset \mathbb R^n medible

Probar que si div(f) = 0 en todos lados, entonces
| \Theta _t (A) | es constante en t

Gracias David Kiegel

4 comentarios to “Campos”

  1. julianhaddad said

    Ojo que hay informalidades dando vueltas por ahí.
    Sobre dominios de las soluciones, y sobre la suavidad de la F.

    Tengamos espíritu analista y supongamos que las funciones son buenas.

  2. Anónimo said

    En el libro de Marsden-Tromba esta hecha la demostracion para conjuntos E abiertos. Pasar de ahi a medibles es un ejercicio bastante estandard de Teoría de la Medida.

  3. Anónimo said

    Antes de mirar un libro, un ejercicio interesante es encontrar enunciados similares (y verdaderos…) que involucren al rotor y al gradiente

  4. julianhaddad said

    Bueno. Ya salió (le salió a David).
    Es una cuenta muy linda.
    Hints:
    1) La diferencial del determinante en la identidad es la función traza
    2) La traza de la matriz diferencial de una función de \mathbb R^n en \mathbb R^n es la divergencia =)
    3) La medida de \phi (A) es una integral en A

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