Órdenes de M

abril 23, 2008

Buscar un bello, simple, elegante, transparente y geométrico argumento para la existencia de un polígono de n lados de área máxima. Prohibido usar análisis.

6 comentarios to “Órdenes de M”

  1. charlydif said

    ¿No falta algo en el enunciado? ¿Los n lados son dados ???

  2. Marlowe:PI said

    El perímetro fijo, perdón…

  3. julianhaddad said

    ¿por qué no vale usar análisis?
    ¡es la forma elegante de hacerlo!
    ¡viva la compacidad!

  4. Marlowe:PI said

    leé el nombre del post.

  5. Grin Without a Cat said

    El problema de una demostración elemental para la existencia viene de un thread en sci.math en el que alguien quería una forma de explicarle la razón por la que la igualdad isoperimétrica para polígonos funciona a un chico de 14 años.

    No me molestaría, claro, ver algumentos más tecnológicos. (Tengo mis dudas de que uno pueda probar la existencia de manera elemental…)

  6. charlydif said

    Mmm algunas observaciones, supongamos que el poligono tiene perimetro n y queremos ver que el n-agono regular tiene area maxima entre todos los de perimetro n.

    1) Si tengo un segmento ab entre todos los triangulos acb de perimetro fijo el de mayor area es el isoceles de base ab. (esto se debe poder demostrar sencillo, al menos creo que estoy casi seguro de haberlo hecho a los 15 años). Mas aun, cuanto mas chico sea |ac-bc| mas grande es el area de abc.

    2) Si no todos los lados miden 1 entonces agarro uno mas grande que 1 y uno mas chico. Si estan consecutivos entonces modifico esos dos lados para que uno me quede =1 y el otro lo que corresponda y agrando el area (por lo anterior). Si no estan consecutivos, notemos que podemos intercambiar dos aldos consecutivos sin variar el area, entonces mediante varios “flips” los pongo seguidos y hago lo de recien. En fin, tarde o temprano (a lo sumo n-1 pasos) me construi un n-agono con todos lados =1 y mas area.

    3) Alcanza probar el siguiente lema, entre todos los cuadrilateros ABCD con AB=BC=CD=1 y DA=k el de mas area es el que esta inscripto en una circunferencias. Mas aún, cuanto mas chico sea |A+C-B-D| mas grande es el area.

    4) Con el lema anterior y un argumento parecido a él de 2, hay que ingeniarselas para llegar al n-agono regular agrandando el area en cada paso.

    Nunca dije que lo haya hecho….dije “un par de observaciones”.

    Otro posible ataque seria ver directamente que debe tener area mas chica que el n-agono regular. Usando la desigualdad isoperimetrica sale al toque, porque en cada lado (recuerden que puedo suponer que todos miden 1) le agrego lo que quede entre la circunferencia y un lado del n-agono regular y la figura formada va a tener perimetro el de la circunferencia y por ende menos area.

    Obvio que lo mas probable es que el problema venga de la desigualdad isoperimetrica y ahora deberia pensar como demostrarla sin hablar de compacidad. Pero me parece que puede llegar a salir usando Brunn-Minkowski aunque quizas necesite alguna cosa sucia como Fubini (aunque se debe poder evitar) (o sea usando Brunn-Minkowski seguro que sale, la pregunta es que tan elemental sale Brunn-Minkowski).

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