Juego de feria

abril 23, 2008

Encontrar el mínimo r tal que se puede cubrir la bola cerrada unidad del plano, con 5 bolas cerradas de radio r.

ojo. no sé si existe mínimo =)

Lo vi en una feria. Si cubrías el círculo rojo con los cinco circulitos, te ganabas una moto!!!

7 comentarios to “Juego de feria”

  1. Grin Without a Cat said

    El mínimo sí existe…

  2. julianhaddad said

    Encontré una buena forma de calcular el área dentro de algunos círculos y fuera de otros. Primero hay que encontrar el borde de nuestra figura. O sea, hay que hallar cuáles son los arcos de circunferencia correspondientes y en qué sentido se orientan. Luego se aplica el teorema de Green (el de análisis 2) y se integra un campo de rotor constante. Esto da un algoritmo exacto y no muy lento.
    Haciendo variaciones al azar (de los centros de los círculos) llegué a una aproximación r \cong .609600.
    Falta hacer un algoritmo que determine con precisión si el círculo grande está tapado del todo.
    Miren qué bello dibujito

  3. Grin Without a Cat said

    For comparison, el radio de los discos en la configuración simétrica es 1/\phi\cong 0.618034.

  4. julianhaddad said

    Una cuenta mirando el dibujo. Supongamos que:
    1) El punto “donde se chocan tres de las circunferencias chicas” es el centro del círculo grande
    2) Los dos círculos alejados cubren el mayor perímetro que pueden.
    3) En la circunferencia grande, las circ chicas se tocan justo.

    sale una cuenta del tipo

    3 (2 \arccos (\frac 1 {2 r}) )+2( 2 \arcsin ( r ) ) = 2 \pi

    que da

    0.6099579334

  5. Grin Without a Cat said

    (Insisto con este comentario, que WordPress a su vez insiste en ignorar…)

    La calculadora simbólica inversa http://oldweb.cecm.sfu.ca/projects/ISC/ISCmain.html; sugiere que ese número es o bien una raíz de 1-3*x^2+2*x^3-4*x^5 o bien una raíz de -1+x+2*x^2-4*x^3+4*x^4 (pero no se da cuenta de que el primer polinomio es un múltiplo del segundo…). Por su lado, Mathematica afirma sin tomarse mucho tiempo que tu ecuación tiene como solución a la raíz positiva de -1+x+2*x^2-4*x^3+4*x^4.

    Lindo polinomio…

  6. quimey said

    Tengo una demostracion(formal) de que el radio es 0.59 \leq r \leq \frac{1}{\phi}
    Donde 0.59 es una raiz de un polinomio de grado 5

  7. quimey said

    Estuve charlando este problema con otra gente y surgio una idea interesante, cual es el maximo R de manera que se puedan poner 5 circulos de radio R adentro del circulo de radio 1(Se permite que se toquen en el borde)

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