Bandas de Mobius

abril 11, 2008

a) Probar que con un rectangulo de 1\times \sqrt 3 se puede formar una Banda de Mobius diferenciable (con plano tangente en cada punto).

b) Probar que con un rectangulo de 1\times {\pi \over 2} NO se puede formar una Banda de Mobius diferenciable.

c) ¿Cual es el mejor \lambda?

4 comentarios to “Bandas de Mobius”

  1. Marlowe:PI said

    Definí “formar” y “banda de Móbius diferenciable” (?).

  2. charlydif said

    Mmmm no se, yo diria que si R es el rectangulo entonces “formar” es dar una f:R\times I\rightarrow \mathbb{R}^3 continua tal que f|_{R\times x}:R\times x\rightarrow \mathbb{R}^3 sea difeo “isometrico” con su imagen (o sea quiero que se respeten las longitudes de las curvas) salvo para x=1, para x=1 es difeo salvo por los bordes y la imagen es difeo con la Banda de Mobuis.

    Pero no se… quizas hay mejores maneras de decirlo.

  3. julianhaddad said

    Para que se respeten las longitudes de curvas, basta pedir que la primera forma fundamental de la parametrización de la superficie sea la identidad.
    i.e. si
    f: R \longrightarrow \mathbb R ^3 es la parametrización de la banda,
    que f_{x_i} . f_{x_j}  = \delta_{i,j}

  4. Grin Without a Cat said

    ¿Alguien tiene a mano una inmersión plana de la banda en \mathbb{R}^3?
    Digamos que eso significa: una función f:[-1,1]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 diferenciable, tal que f(x,y+\lambda)=f(-x,y) para algún \lambda>0, con restricción inyectiva a [-1,1] \times [0, \lambda) e isométrica como en el comentario de Julián—o alguna variación razonable.

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