Topología > Este Problema > Avanzado

diciembre 26, 2007

Este problema surgió mientras preparabamos con Julián una solución limpita del problema del grafo pintado (ver página de páginas). Dado un conjunto X, podemos considerarlo como un espacio métrico asignándole la métrica discreta (d(x,y) = 1 \iff x \neq y). Consideremos ahora una familia de espacios finitos X_n, cada uno de ellos con la métrica discreta; como cada conjunto es finito, es compacto.

Ahora, dada esta familia, podemos formar el espacio producto \displaystyle \prod_{n \in \mathbb N} X_n. En principio este es simplemente un conjunto, pero se le puede asignar una métrica de la siguiente manera. Dados dos puntos x = (x_n)_{n \in \mathbb N} y y= (y_n)_{n \in \mathbb N}, se define \displaystyle d(x,y) = \sum_{n \in \mathbb N} \frac{d_n(x_n,y_n)}{2^{n+1}}. Es fácil ver que esto define una métrica en el producto.

Un teorema muy importante de topología, el teorema de Tychonoff, garantiza que este espacio es compacto. ¿Se puede dar una demostración a nivel Cálculo Avanzado en este caso particular?; sé que “nivel cálculo avanzado” no está bien definido, pero digamos que me gustaría escuchar ideas sobre como demostrarlo sin irse al demonio.

Una respuesta to “Topología > Este Problema > Avanzado”

  1. unimbecil said

    Dada una sucesión en el producto, existe una subsucesion convergente en las primeras n coordenadas. Esa subsucesion tiene una subsucesion que converge en la n+1-esima coordenada tambien, y asi sucesivamente tomamos sub-sub-sub-sub-sucesiones obteniendo por diagonalización una sucesion convergente en todas las coordenadas (lo que implica convergencia en la métrica producto)

    Esto lleva implícito un uso del axioma de elección (la version mas debil) porque elegimos inifnitas veces. Creo que si los conjuntos X_n se suponen conjuntos de naturales, se puede evitar el uso del axioma de eleccion, definiendo explicitamente las sub-sucesiones.

    No es algo así?

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