el que quiera aprobar lineal que lo piense…

noviembre 21, 2007

Segun me dijo Pablo, Bonder dijo en lineal que el que le mostrara un espacio vectorial metrico con un producto interno que no fuera continuo(pero la suma y el producto por escalar si) aprobaba lineal en ese momento. Parece ser imposible, pero creo que tengo un ejemplo.

5 comentarios to “el que quiera aprobar lineal que lo piense…”

  1. marcossarini said

    Puede que mi pregunta sea tonta porque todavía no lo pensé, pero cuando decís que una operación es continua, ¿es que es continua en cada componente cuando las demás están fijas, o que toda la operación es continua en el producto de los espacios?

  2. Marlowe:PI said

    Por la topología que hay en el producto, es equivalente😛

  3. Marlowe:PI said

    P.D: Me lo dijo una amiga de Nerina (muy específico lo mío), que está cursando Lineal este cuatri.

  4. Grin Without a Cat said

    Si V es el espacio vectorial real de las funciones \mathbb R\to\mathbb R continuas, lineales a trozos y con soporte compacto, dotado de la topología inducida por la inclusión V\subset L^\infty(\mathbb R), que evidentemente es una topología metrizable, entonces la aplicación \beta:(f,g)\in V\times V\mapsto\int_{\mathbb R}f'g'\in\mathbb R es un producto interno sobre V que no es continuo. Por ejemplo, si para cada n\in\mathbb N la función f_n\in V es la más simple tal que f(i/n)=0 para cada i\in\{0,\dots,n\} y f((2i+1)/2n)=1/n para cada i\in\{0,\dots,n-1\}, entonces claramente f_n\to 0 en V, pero \beta(f_n,f_n)\not\to0. (Elegí que los elementos de V sean funciones lineales a trozos, en vez de tomar simplemente C^1_c(\mathbb R), para que sea más fácil dar este ejemplo; de otra forma tendría que haber regularizado).

  5. Grin Without a Cat said

    Incidentalmente, si para cada s\in\mathbb R notamos H^s al s-ésimo espacio de Sobolev sobre \mathbb R^n (cf. Rudin, Functional Analysis, sec. 8.8), que es un espacio de Hilbert, y si \mathcal D es el espacio de Schwartz de funciones de prueba en \mathbb R^n (cf. loc.cit., sec. 6.2), entonces para todo s\in\mathbb R es \mathcal D\subset H^s, así que vía esta inclusión obtenemos un producto interno \langle\mathord-,\mathord-\rangle_s sobre \mathcal D. No ha de ser dificil ver que si s<s' entonces el producto interno \langle\mathord-,\mathord-\rangle_s no es continuo con respecto a la topología de \mathcal D definida por \langle\mathord-,\mathord-\rangle_{s'}… Esto ‘generaliza’ el ejemplo anterior.

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