Se buscan demostraciones

julio 21, 2007

La idea es encontrar demostraciones elementales.

En lo que sigue definimos la bola D^{n} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert \le 1\} y la esfera S^{n-1} = \{x \in \mathbb{R}^{n}: \Vert x \Vert = 1\}.

1) Sea f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 continua, entonces existe a en S^2 tal que

f(a)=f(-a).

2) Sea f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 continua y a,b en S^2. Entonces existe alguna reflexion de S^2 en S^2 que lleva a estos puntos en a',b' tales que

f(a')=f(b').

3) Sea f:S^2\rightarrow \mathbb{R}^2 continua y a,b,c en S^2 que forman un triangulo equilatero. Entonces existe alguna reflexion de S^2 en S^2 que lleva a estos puntos en a',b',c' tales que

f(a')=f(b')=f(c').

4) Sea f:S^2\rightarrow S^2 continua, entonces existe a en S^2 tal que

ff(a)=a.

5) Sea f:S^2\rightarrow S^2 continua, entonces existe a en S^2 tal que

f(a)=a o f(a)=-a.

6) Probar que no existe un campo de vectores tangentes sobre S^2.

7)(No Retraccion) Probar que no existe f:D^n\rightarrow S^{n+1} tal que f(x)=x para todo x en S^{n+1}.

8 ) (Borsuk-Ulam) Sea f:S^n\rightarrow \mathbb{R}^n continua, entonces existe a en S^n tal que

f(a)=f(-a).

9) Sea 2\leq k\leq n+1 y C\subset S^n un conjunto de k puntos. Probar que si f:S^n \rightarrow \mathbb{R}^{n-k+2} entonces existe un C'\subset S^n congruente a C tal que todos sus puntos tengan la misma imagen en \mathbb{R}^{n-k+2} en el caso

a) k=2
b) k=3 y n=2

10.1) Probar que no existe f:S^{n+1}\rightarrow S^n que preserve antipodas.

10.2) Probar que no existe f:D^n\rightarrow S^{n+1} que preserve antipodas.

11) Probar que si f:S^n \rightarrow S^n preserva antipodas entonces es sobreyectiva y no es homotopicamente nula.

12) Probar que si tenemos un campo de vectores tangentes que nunca se anula sobre S^n entonces n es impar

13) Probar que D^n y D^m no son homeomorfos si n\neq m.

Bonus Track:(Borsuk)
14) Si cubrimos a S^n con n+1 cerrados entonces hay dos puntos antipodales en el mismo cerrado.

15) Si un subconjunto X de \mathbb{R}^m esta cubierto por n+1 cerrados entonces existe f:X\rightarrow \mathbb{R}^n continua tal que para todo y en \mathbb{R}^n se tiene que f^{-1}(y) esta contenido en uno de los n+1 cerrados.

2 comentarios to “Se buscan demostraciones”

  1. charlydif said

    Cada uno puede entender por elemental lo que quiera. Demostraciones usando el \pi_1 se aceptan aunque tambien estaria bueno evitarlo.

    Grupos de homotopia de ordenes superiores y/o cosas con la homologia estan terminantemente prohibidos (aunque demostraciones sin usar su maquinaria pero si sus ideas seran bienvenidas).

  2. P said

    Un agregado… incluye medida, así que “no cuenta”, pero va igual: Dada una familia finita de compactos A_1, \ldots A_n, hay un hiperplano que divide a cada uno en dos partes de medida igual.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: