El Problema de Martín

julio 13, 2007

El otro día me encontré con Martín (Avendaño, valga la aclaración), y nos colgamos resolviendo el siguiente problema:

Encontrar los x, y \in \mathbb{Q} tales que y^2 = x^3 +x.

Pista:

Después de mucho meditar, Martín dijo “Claro, ¡x^4 + y^4 = z^2 no tiene soluciones enteras!” (Me contó una historia verdaderamente fantástica al respecto, pero este post es demasiado pequeño para contenerla).

2 comentarios to “El Problema de Martín”

  1. severius said

    Si tenemos una solución, poniendo y=p/q, x=r/s fracciones irreducibles y multiplicando por q^2s^3 queda p^2s^3=r^3q^2+rq^2s^2=rq^2(r^2+s^2). Entonces s^2|r^3q^2. Como r y s son coprimos, s^2|q^2, luego s|q, q=ks.

    Entonces queda p^2s^3=rk^2s^2(r^2+s^2), luego p^2s=rk^2(r^2+s^2). Ahora, r es coprimo con s, y haciendo un Euclides r^2+s^2 también es coprimo con s. Entonces, como s divide a todo lo de la derecha pero todo es coprimo salvo k^2, tenemos s|k^2. Por otro lado k^2|p^2s y q=ks es coprimo con p, luego k es coprimo con p, entonces k^2|s. O sea que k^2=s y p^2=r(r^2+s^2).

    Reemplazando p^2=r(r^2+k^4). Con más Euclides r y r^2+k^4 son coprimos, entonces si su producto es un cuadrado deben ser ambos cuadrados. Luego r=z^2, r^2+k^4=w^2. Reemplazando z^4+k^4=w^2, absurdo!

  2. Raúl said

    Soy Raúl y tengo 11 años

    Está bien lo que ha dicho severius pero lo que ha hecho al inicio no se puede para 0 de este caso solo se puede sacar: (0;0) ya quesi x=0:y=0 y si y=0 : x=0 o x^2+0=1 (→←)

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