Borde de una figura convexa

julio 7, 2007

Sea K una figura convexa en el plano, es decir, un conjunto convexo, compacto, y con interior no vacío. Un punto de su borde se dice regular si está en el borde de exactamente un semiplano cerrado que contiene a K. Probar que el borde de K tiene a lo sumo numerables puntos no regulares.

 Creo que es cierto.

2 comentarios to “Borde de una figura convexa”

  1. julianhaddad said

    Es cierto. Puede verse que una función convexa es derivable salvo esos puntos. La derivada es monótona creciente, y entonces tiene numerables discontinuidades.

  2. Grin Without a Cat said

    Sea K un compacto convexo de interior no vacío en \mathbb R^2 y sea p:\mathbb R^2\to K la proyección a K, es decir, la aplicación que manda a cada punto de \mathbb R^2 al punto de K más cercano (de manera que p\circ p=p y p|_K=\mathrm{id}_K) Entonces p es continua y si x es un punto del borde de K el conjunto p^{-1}(x) es igual a x+N(x), con N(x) el conjunto de vectores normales a las rectas soporte de K en x, junto con el cero.

    Usando p podemos resolver el problema de manera simpática: basta observar que un punto x\in\partial K es singular sii el cono p^{-1}(x) tiene interior no vacío, que \mathrm{int}\;p^{-1}(x)\cap\mathrm{int}\;p^{-1}(y)=\emptyset siempre que x e y son puntos distintos del borde, y que una familia de abiertos disjuntos del plano es a lo sumo numerable.

    Es un teorema de Kurt Reidemeister (Über die singulären Randpunkte eines konvexen Körpers, Math. Ann. 83 (1921), 116-118) que el conjunto de puntos singulares de la frontera de un convexo compacto de interior no vacío en \mathbb R^n tiene medida de Hausdorff (d-1)-dimensional nula.

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